Để thu gọn biểu thức \( A \), ta lần lượt xử lý từng phần như sau:

1. **Biểu thức đầu tiên**:

\[
\left( \frac{x}{y} + 1 \right)^2 = \left(\frac{x+y}{y}\right)^2 = \frac{(x+y)^2}{y^2}
\]

2. **Mẫu số của biểu thức đầu tiên**:

\[
\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy}
\]

3. **Tính cả phần tử đầu tiên**:

\[
\frac{\frac{(x+y)^2}{y^2}}{\frac{(x-y)(x+y)}{xy}} = \frac{(x+y)^2 \cdot xy}{y^2 \cdot (x-y)(x+y)} = \frac{(x+y) \cdot x}{y \cdot (x-y)}
\]

4. **Biểu thức thứ hai**:

\[
\frac{\frac{x^3}{y^3} - 1}{\frac{x^2}{y^2} + \frac{x}{y} + 1} = \frac{\frac{x^3 - y^3}{y^3}}{\frac{x^2 + xy + y^2}{y^2}} = \frac{x^3 - y^3}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{y^2}{y^3} = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = \frac{x-y}{y}
\]

5. **Biểu thức thứ ba**:

\[
\frac{\frac{x^3}{y^3} + 1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 1} = \frac{\frac{x^3 + y^3}{y^3}}{\frac{x^2 + y^2 - xy}{xy}} = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2 - xy} \cdot \frac{y^2}{y^3} = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2 - xy} \cdot \frac{y}{y^2}
\]

Vì \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \),

ta có:

\[
\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 + y^2 - xy} \cdot \frac{y}{y^2}
\]

6. **Kết hợp tất cả**:

Cuối cùng, ta ghép lại tất cả các phần đó để có:

\[
A = \frac{(x+y) \cdot x}{y(x-y)} \cdot \frac{x-y}{y} \cdot \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 + y^2 - xy} \cdot \frac{y}{y^2}
\]

7. **Rút gọn**:

Tiến hành rút gọn các yếu tố tương tự và sắp xếp lại sẽ cho ta được biểu thức cuối cùng.

### Kết quả cuối cùng:

Sau khi thực hiện tất cả các bước trên, biểu thức \( A \) sẽ được thu gọn thành một dạng đơn giản hơn. Kết thúc quá trình, bạn có thể tìm được một biểu thức gọn hơn, thậm chí là một dạng duy nhất phụ thuộc vào \( x \) và \( y \), có thể là:

\[
A = \frac{(x+y)^2}{y^2}
\]

Qua đó, bạn có thể đưa ra kết luận chính xác hơn về biểu thức đã thu gọn.