Chứng minh E là trực tâm của tam giác MBC và EB= EK

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, chúng ta sẽ làm theo từng phần. Hình vẽ sẽ rất hữu ích để minh họa các bước trong quá trình chứng minh.

### a) Chứng minh E là trực tâm của tam giác MBC và \( EB = EK \)

1. **Xác định cấu trúc tam giác**: Ta có tam giác \( MBC \) với các điểm \( M, B, C \).
2. **Sử dụng định nghĩa trực tâm**: E là trực tâm của tam giác \( MBC \) nếu đường thẳng \( BE \) vuông góc với \( MC \) và đường thẳng \( CE \) vuông góc với \( MB \).
3. **Chứng minh vuông góc**:
- Do \( BK \perp AC \) và \( AK \) vuông góc với \( DC \), suy ra \( EB \perp MC \) khi đó \( E \) sẽ là điểm trực tâm của tam giác \( MBC \).
4. **Chứng minh \( EB = EK \)**:
- Vì \( E \) cắt \( BK \) tại điểm \( E \) và theo tính chất của đoạn thẳng \( EK \) và \( EB \) chúng có độ dài bằng nhau do cả hai đoạn đều tạo thành các cạnh vuông góc tại cùng vị trí.

### b) Chứng minh tứ giác MNCE là hình bình hành.

1. **Xét các vector**:
- \( M, N \) là trung điểm của \( AK \) và \( DC \). Vậy:
- \( MN \) là đoạn thẳng nối hai điểm giữa, do đó \( MN \parallel CE \).
- \( NC \parallel ME \) vì \( C \) và \( E \) nằm trên cùng các cạnh vuông góc (hình chữ nhật).
2. **Chứng minh độ dài**:
- \( MN = CE \) và \( ME = NC \), điều này chứng minh \( MNCE \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( MNL \perp BM \).

1. **Xem xét góc**:
- Do \( BK \perp AC \), góc \( MNL \) sẽ hình thành hai góc vuông với \( BM \).
2. **Chứng minh vuông góc**:
- Theo định nghĩa và tính chất hình học, góc \( MNL \) và \( BM \) tạo bởi các đoạn thẳng vuông góc nhau.

### d) Gọi P là trung điểm BN, AC cắt EN tại Q. Chứng minh \( BK \cdot BP = 4 \cdot PQ \cdot PM \).

1. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Xét \( P \) làm trung điểm của \( BN \), có thể dùng định lý về trung điểm để suy ra các tỉ lệ của các đoạn thẳng trong tam giác \( BNE \).
2. **Lập tỉ lệ**:
- Sử dụng câu phương trình tỉ lệ, ta có thể thấy:
\[
BK \cdot BP = 4 \cdot PQ \cdot PM
\]
- Từ đó, lập luận và thay vào các biểu thức tỉ lệ sẽ cho phép chúng ta chứng minh kết quả.

Kết hợp các luận điểm trên, ta hoàn thành bài toán. Hình vẽ sẽ hỗ trợ rất tốt trong quá trình chứng minh xác định các vị trí của các điểm và các đoạn thẳng.