### Bài 1:

#### a) Giải phương trình khi \( m = -1 \)

Phương trình trở thành:

\[
x^2 - 2(-1 - 1)x + (-1)^2 - 3(-1) = 0
\]

Tính toán các hệ số:

\[
x^2 + 4x + 5 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4
\]

Vì \( D < 0 \), phương trình không có nghiệm thực.

#### b) Tìm \( m \) để có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1 \)

Ta có:

\[
\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -1
\]

Theo định lý Viète:

- Tổng \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m - 1) \)
- Tích \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - 3m \)

Thay vào phương trình trên:

\[
\frac{2(m - 1)}{m^2 - 3m} = -1
\]

Giải phương trình:

\[
2(m - 1) = -(m^2 - 3m)
\]
\[
2m - 2 = -m^2 + 3m
\]
\[
m^2 - m - 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\]

Nghiệm:

\[
m = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow m_1 = 2, m_2 = -1
\]

Vậy \( m \) cần tìm là \( m = 2 \) (vì với \( m = -1 \) thì không có nghiệm).

### Bài 2:

#### a) Giải phương trình khi \( m = 6 \)

Phương trình trở thành:

\[
x^2 - 5x + 6 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
\]

Nghiệm:

\[
x_1, x_2 = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2
\]

#### b) Tìm \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \), thỏa mãn \( |x_1 - x_2| = 3 \).

Ta có:

\[
|x_1 - x_2| = \sqrt{D} = 3 \Rightarrow D = 9
\]

Tính \( D \):

\[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m
\]

Đặt điều kiện:

\[
25 - 4m = 9 \Rightarrow 4m = 16 \Rightarrow m = 4
\]

### Bài 3:

#### a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \( m \).

Phương trình:

\[
x^2 + 2x - m^2 - 1 = 0
\]

Tính \( D \):

\[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2 - 1) = 4 + 4m^2 + 4 = 4m^2 + 8
\]

Vì \( D \) luôn dương với mọi \( m \), nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

#### b) Tìm \( m \) để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \( x_1 = -3x_2 \).

Sử dụng Viète:

- Tổng: \( x_1 + x_2 = -2 \)
- Tích: \( x_1 x_2 = -m^2 - 1 \)

Thay \( x_1 = -3x_2 \):

\[
-3x_2 + x_2 = -2 \Rightarrow -2x_2 = -2 \Rightarrow x_2 = 1 \Rightarrow x_1 = -3
\]

Tính tích:

\[
-3 \cdot 1 = -m^2 - 1 \Rightarrow -3 = -m^2 - 1 \Rightarrow m^2 = 2 \Rightarrow m = \sqrt{2} \text{ hoặc } m = -\sqrt{2}
\]

Các giá trị cần tìm là \( m = \sqrt{2} \) hoặc \( m = -\sqrt{2} \).