Cho ∆ABC, M trung điểm AB, vẽ MN // BC cắt AC tại N. Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK a) Chứng minh MN là đường trung bình của ∆ABC

Để chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC trong bài toán đã cho, ta sẽ làm từng bước như sau:

### a) Chứng minh MN là đường trung bình của ∆ABC:

1. **Điều kiện cần**: Để MN là đường trung bình, ta cần chứng minh MN // BC và MN = 1/2 BC.

2. **Giả thiết**: M là trung điểm của AB, và MN || BC. Theo định nghĩa, nếu MN || BC thì độ dài của nó bằng một nửa độ dài của BC.

3. **Sử dụng tính chất**: Từ định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]
Khi đó, ta có:
\[
MN // BC \text{ và } MN = \frac{1}{2} BC
\]
Suy ra, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

### b) Chứng minh IB = IC. MB:

- Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{IB}{IC}
\]
- Tuy nhiên, vì M là trung điểm của AB và BC là đường thẳng cắt nhau tại N, ta có:
\[
MB = MA = \frac{1}{2} AB \text{ (vì M là trung điểm)}
\]
- Suy ra, ta có:
\[
IB = IC \cdot \frac{MA}{MB} = IC \cdot 1 \Rightarrow IB = IC
\]

### c) MN cắt KC tại H chứng minh:

- Ta có MN // BC và N là trung điểm của IK.
- Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, ta có:
\[
\frac{AM}{AB} + \frac{CH}{CK} = 1
\]

Đây là các chứng minh giải thích cho từng phần trong bài toán. Bạn có thể làm rõ hơn từng bước dựa trên các định lý và tính chất hình học nếu cần thiết!