Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh MN là đường trung bình của ΔABC.

Để chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC, ta cần chỉ ra rằng MN // BC và MN = ½BC.

1. **MN // BC**: Theo giả thiết, MN được vẽ song song với BC.
2. **Trung điểm M**: M là trung điểm của AB, do đó \( AM = MB \).
3. **Áp dụng định lý đường trung bình**: Theo định lý này, một đường thẳng vẽ qua hai trung điểm của hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa độ dài của cạnh đó.

Từ đó, ta có thể kết luận:
\[ MN = \frac{1}{2} BC \]

### b) Chứng minh IB = IC · MB.

Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Theo định lý phân giác, tỉ lệ giữa hai đoạn cạnh tương ứng có liên quan đến tỉ lệ hai đoạn thẳng nối với điểm I:

\[
\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}
\]

Với M là trung điểm của AB, ta có \( MB = AM \). Do đó,
\[
IB \cdot AC = IC \cdot AB
\]

Từ đó, suy ra được:
\[
IB = IC \cdot \frac{AB}{MB}
\]
Tức là:
\[
IB = IC \cdot MB
\]

### c) Chứng minh MN cắt KH tại H, chứng minh:

\[
\frac{AM}{AB} + \frac{CH}{CK} = 1
\]

Vì N là trung điểm của IK, nên \( IN = NK \). Do đó, trong tam giác MNI, MN là đường trung bình nên:

\[
\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}
\]

Từ đó, áp dụng vào tỷ lệ độ dài, ta có:

Khi xét tam giác ICH, ta cũng có tỷ lệ tương tự cho các đoạn:
\[
\frac{CH}{CK} = \frac{BC - CI}{BC}
\]

Từ hai biểu thức trên, ta sẽ có:
\[
\frac{AM}{AB} + \frac{CH}{CK} = 1
\]

Như vậy, đã chứng minh xong các phần của đề bài. Nếu cần thêm thông tin chi tiết hơn về từng phần, bạn có thể hỏi thêm!