Để tính giới hạn

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^3 + 1} - n}
\]

ta có thể bắt đầu bằng cách đơn giản hóa biểu thức trong mẫu số.

Trước tiên, nhận thấy rằng khi \( n \to \infty \), ta có:

\[
\sqrt[3]{n^3 + 1} = \sqrt[3]{n^3(1 + \frac{1}{n^3})} = n\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^3}}.
\]

Do đó:

\[
\sqrt[3]{n^3 + 1} - n = n\left(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^3}} - 1\right).
\]

Tiếp theo, sử dụng khai triển Taylor cho \( \sqrt[3]{1 + x} \) quanh \( x = 0 \):

\[
\sqrt[3]{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{3}x \quad \text{cho } x \text{ gần } 0.
\]

Áp dụng vào biểu thức trên với \( x = \frac{1}{n^3} \):

\[
\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n^3}} \approx 1 + \frac{1}{3n^3}.
\]

Do đó:

\[
\sqrt[3]{n^3 + 1} - n \approx n\left(\frac{1}{3n^3}\right) = \frac{1}{3n^2}.
\]

Vậy mẫu số cuối cùng trở thành:

\[
\frac{1}{\sqrt[3]{n^3 + 1} - n} \approx \frac{1}{\frac{1}{3n^2}} = 3n^2.
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
\lim_{n \to \infty} 3n^2 = \infty.
\]

Vậy giới hạn là:

\[
\boxed{\infty}.
\]