Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta làm theo các bước sau:

**a. Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật:**

1. Vì \(A\) là điểm góc vuông của tam giác \(ABC\), tức là \(\angle A = 90^\circ\).
2. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó, \(MB = MC\).
3. Tọa độ của các điểm trong mặt phẳng Oxy có thể lấy như sau:
- \(A(0, 0)\) (gốc tọa độ),
- \(B(0, b)\) với \(b < c\) (vì \(AB < AC\)),
- \(C(a, b)\) với \(a > 0\).
4. Gọi \(D\) là điểm nằm trên đường thẳng \(MA\) sao cho \(MA = MD\).
- Để tìm tọa độ \(D\), trước tiên ta tìm tọa độ \(M\):
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{b + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right)
\]
- Tọa độ \(D\) sẽ là:
\[
D\left(a - \frac{a}{2}, 2b - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 2b\right)
\]
5. Từ tính chất của hình chữ nhật, ta cần chứng minh \(AD \perp AB\) và \(CD \perp BC\):
- Độ dốc của \(AB\) là \(0\) (đường thẳng đứng).
- Độ dốc của \(AD\) là \(\frac{2b - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{4b}{a}\) (đường thẳng đi lên).
Ta thấy góc giữa \(AD\) và \(AB\) là vuông.
- Tương tự, ta cũng có thể chứng minh góc giữa \(CD\) và \(BC\) cũng là vuông.

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

**b. Gọi \(I\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BC\). Chứng minh tứ giác \(DIBC\) là hình thang cân.**

1. Để chứng minh \(DIBC\) là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh \(DI = BC\) và \(IB = DC\).
2. \(I\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BC\) nên ta có \(BI = BA\) và \(CI = AC\).
3. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật, do đó, \(AD = BC\) cũng bằng với \(IB\).
4. Áp dụng tính chất của hình chữ nhật và đối xứng, ta có:
- Kích thước và tính chất các đoạn thẳng \(IB\) và \(DC\) bằng nhau.
5. Vậy \(DIBC\) là hình thang cân.

**c. Tính diện tích tứ giác \(ABCD\):**

Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
S = AB \times AC
\]

Trong bài toán cho biết \(BC = 10 \, \text{cm}\) và \(AC = 8 \, \text{cm}\). Với \(AB\) không được cho biết, nhưng ta biết rằng:
\(AB^2 + AC^2 = BC^2\) (tính chất của tam giác vuông).
Vậy:
\[
AB^2 + 8^2 = 10^2 \Rightarrow AB^2 + 64 = 100 \Rightarrow AB^2 = 36 \Rightarrow AB = 6 \, \text{cm}
\]
Diện tích \(S\) của tứ giác \(ABCD\) là:
\[
S = AB \times AC = 6 \times 8 = 48 \, \text{cm}^2
\]

Tóm lại, diện tích tứ giác \(ABCD\) là \(48 \, \text{cm}^2\).