Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của các đường trung tuyến trong tam giác và một số định lý hình học.

### a) Chứng minh \( MN = IK \)

1. **Giả thiết:** \( G \) là giao điểm của \( BM \) và \( CN \), \( I \) và \( K \) lần lượt là trung điểm của \( GB \) và \( GC \).

2. **Xét tam giác \( BGC \):**
- \( I \) là trung điểm của \( GB \), do đó: \( GI = \frac{1}{2} GB \).
- \( K \) là trung điểm của \( GC \), do đó: \( GK = \frac{1}{2} GC \).

3. **Áp dụng định lý trung tuyến:**
- Trong tam giác \( ABC \), độ dài của đường trung tuyến \( BM \) và \( CN \) không ảnh hưởng đến độ dài \( MN \) và \( IK \). Suy ra, ta có:

\[
MN = MI + IN \quad \text{và} \quad IK = GI + GK
\]

4. **Thay thế các độ dài:**
- Bằng cách sử dụng phương pháp chia đoạn, ta sẽ có:

\[
MN = GI + GK \quad \Rightarrow \quad MN = IK
\]

### b) Tứ giác \( MNIK \) là hình gì?

Để xác định hình dạng của tứ giác \( MNIK \), ta có thể dựa vào các tính chất sau:

1. **Các độ dài bên cạnh:**
- Từ kết quả vừa chứng minh, \( MN = IK \).

2. **Các đoạn nối:**
- \( MI \) và \( NK \) đều là các đoạn nối từ trung điểm đến trung điểm.

3. **Tính chất tứ giác:**
- Vì \( MI = NK \) và \( MN = IK \), tứ giác \( MNIK \) có hai đôi cạnh đối song song và bằng nhau.

=> **Kết luận:** Tứ giác \( MNIK \) là hình bình hành.

Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao!