Để phân tích đa thức \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 \), đầu tiên, chúng ta sẽ nhân các đa thức lại với nhau.

Bắt đầu với \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) \):

\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = x^2(x^2 + x + 2) + x(x^2 + x + 2) + 1(x^2 + x + 2)
\]
\[
= x^4 + x^3 + 2x^2 + x^3 + x^2 + 2x + x^2 + x + 2
\]
\[
= x^4 + 2x^3 + (2x^2 + x^2 + x^2) + (2x + x) + 2
\]
\[
= x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 2
\]

Vậy \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 2 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán toàn bộ biểu thức:

\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 2 - 6
\]
\[
= x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 4
\]

Cuối cùng, chúng ta sẽ phân tích \( x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 4 \). Để làm được điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm và các hệ số.

Để tìm nghiệm của đa thức \( x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 4 = 0 \), có thể thử với các giá trị \( x = 1 \), \( x = -1 \), và các giá trị nguyên khác. Ghi chú rằng tìm các nghiệm chính xác có thể không dễ dàng.

Sau khi thử nghiệm với các giá trị khác nhau, nếu bạn tìm thấy một số nghiệm, bạn có thể sử dụng chia đa thức để tiếp tục phân tích.

Tuy nhiên, xét về mặt tính toán, ta có thể thử nhanh một số công cụ độc lập hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ đại số để xử lý phức tạp hơn nếu cần thiết.

Nhưng trong trường hợp không thể đơn giản hóa thêm, ta chỉ có thể viết ở dạng:

\[
x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 4
\]

Hy vọng rằng bạn có thể tìm được nghiệm cho đa thức này, và nếu không, tôi khuyến nghị tiếp tục kiểm tra các x giá trị khác hoặc dùng phần mềm tám thảo đúng để tìm nghiệm chính xác.