Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy D là điểm đối xứng của A qua O

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần:

### a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
- Tứ giác ABCD là hình thang. Để chứng minh, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh AD và BC song song. Do A đối xứng qua O tạo ra D, và O là trung điểm của BC, nên AD // BC.

### b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. Biết BC lần lượt cắt AK, DI tại M, N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN.
Để chứng minh O là trung điểm của MN, ta sẽ dùng tính chất của trung điểm và định nghĩa về O.

1. **Xét tam giác ABC vuông tại A**: Một số tính chất về cạnh và trung điểm sẽ cho thấy tỉ lệ và đối xứng trong các đoạn thẳng.
2. **Tính đối xứng**: Điểm D là đối xứng của A qua O, điều này có nghĩa rằng OA = OD. Do O là trung điểm của BC và D cũng nằm trên đường thẳng này, điều này giúp chúng ta lập luận rằng các đoạn thẳng tương ứng sẽ chia đều với tỷ lệ bằng nhau.
3. **Sử dụng định lý trung điểm**: Nếu K và I là trung điểm, thì định nghĩa tứ giác và khoảng cách sẽ giúp chứng minh rằng M và N nằm cân xứng quanh O.

### Kết luận
Dựa vào các định lý hình học về trung điểm và tính chất của các đoạn thẳng trong hình vuông, ta có thể đi đến kết luận rằng O là trung điểm của MN.