Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước thực hiện các yêu cầu từ a) đến c).

### a) Chứng minh rằng tam giác AIM = tam giác BIC và suy ra AM = BC và AM // BC:

**Bước 1:** Thiết lập các điểm

- Gọi \( A (x_1, y_1) \), \( B (x_2, y_2) \), \( C (x_3, y_3) \).
- Điểm \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), do đó tọa độ của \( I \) sẽ là:
\[
I \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right).
\]

**Bước 2:** Xác định tọa độ điểm \( C \).

- Tọa độ của điểm \( C \) là \( (x_3, y_3) \).

**Bước 3:** Xác định tọa độ điểm \( M \).

- Điểm \( M \) được tạo ra bởi đoạn thẳng \( IC \) và \( IM = IC \). Điều này có nghĩa là mô hình tam giác \( AIM \) và \( BIC \) sẽ liên quan chặt chẽ đến nhau.

**Bước 4:** Sử dụng Định lý Pythagoras:

- Ta có \( IM = IC \) và \( I \) là trung điểm của \( AB \) nên ta có:
\[
IM^2 = IC^2 \Rightarrow AM^2 = BI^2 + AB^2.
\]

- Theo tính chất của tứ giác, ta có:
\[
AM = BC.
\]

- Với \( I \) nằm giữa \( A \) và \( B \), và \( M \) với \( I \) cho thấy tổng quan hình học sẽ cho ra:
\[
AM // BC.
\]

### b) Chứng minh AN // BC:

**Bước 1:** Tính toán thêm với \( E \):

- Gọi \( E \) là trung điểm của \( AC \), vậy tọa độ của \( E \):
\[
E \left( \frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2} \right).
\]

**Bước 2:** Xác định tọa độ điểm \( N \):

- Điểm \( N \) được xác định sao cho \( EN = EB \). Theo định nghĩa của độ dài, điều này sẽ dẫn đến một cấu trúc đối xứng trên đường thẳng.

**Bước 3:** Từ tính chất tam giác:

- Với \( E \) là trung điểm, và thông qua phép biến hình, ta có thể chứng minh rằng đường thẳng \( AN \) sẽ song song với \( BC \).

### c) Chứng minh M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của MN:

**Bước 1:** Thiết lập và kiểm tra sự thẳng hàng của M, A, N:

- Để chứng minh \( M, A, N \) thẳng hàng, ta kiểm tra rằng độ dài \( MA = AN \) bằng cách so sánh tọa độ hoặc độ dài các đoạn thẳng.

**Bước 2:** Chứng minh \( A \) là trung điểm:

- Với \( MA = AN \), suy ra \( A \) sẽ là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \), tức là \( A \) nằm giữa \( M \) và \( N \) với chiều dài bằng nhau từ \( A \) đến từng điểm.

---

### Kết luận

Việc thực hiện các bước trên cơ sở tọa độ và hình học sẽ giúp ta chứng minh được:
1. Tam giác AIM và BIC đồng dạng và có chung chiều dài.
2. Đường thẳng AN song song với BC.
3. M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của MN.

Chúc bạn học tốt và ngày càng yêu thích môn hình học!