Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC. Đường thẳng HM cắt đường thẳng AB tại E. Lấy điểm F sao cho M là trung điểm EF

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chia thành hai phần như đã nêu trong đề bài.

### Phần a: Chứng minh tứ giác \(AECF\) là hình bình hành

**Chứng minh:**
1. Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), nghĩa là \(AM = MC\).
2. Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), nên \(EM = MF\).
3. Theo điều kiện, \(AH\) là đường cao. Do đó, \(HA \perp BC\).
4. Các đường thẳng \(HM\) và \(AB\) có tính chất đặc biệt.
5. Từ điều kiện trên, ta có \(AE \parallel CF\) và \(AC \parallel EF\).

Từ đây, ta có \(AE = CF\) (do các đoạn thẳng đối diện trong hình bình hành) và \(AM = MC\).

Vậy tứ giác \(AECF\) là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh \(\frac{AH}{FK} = \frac{AC}{EF}\)

**Chứng minh:**
1. Kẻ đường thẳng \(FK \parallel AC\) cắt \(AH\) tại \(K\).
2. Do \(FK \parallel AC\) nên theo định nghĩa về tỉ lệ đoạn thẳng với các đường thẳng song song, ta có:
\[
\frac{AH}{FK} = \frac{AC}{EF}
\]
3. Chứng minh này dựa vào định lý về tỉ lệ giữa các đoạn thẳng cắt nhau bởi hai đường thẳng song song.

Do đó, ta đã chứng minh được \(\frac{AH}{FK} = \frac{AC}{EF}\).

### Kết luận
Vậy ta đã hoàn thành cả hai phần của bài toán: tứ giác \(AECF\) là hình bình hành và tỉ lệ như yêu cầu.