Cho ΔABC có AB = AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại M

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần:

**a) Chứng minh \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \)**

- Trong tam giác \( \triangle ABC \), vì \( AB = AC \) (đề bài cho), và \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \), nên theo định lý về tia phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow BM = MC
\]

- Như vậy, ta có:
- \( AB = AC \) (giả thiết)
- \( AM \) chung
- \( BM = MC \)

=> Theo tiêu chí \( SAS \) (cạnh-hai cạnh-khoảng giữa), ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \).

---

**b) Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( BC \)**

- Từ phần a), ta đã chứng minh \( BM = MC \), do đó, điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

---

**c) Chứng minh \( QM \) vuông góc với \( BC \)**

- Hợp \( HM \) và \( KM \) lần lượt là đường cao của tam giác \( ABM \) và \( ACM \). Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \), \( QM \) là đường phân giác.

- Theo tính chất của đường phân giác, nó sẽ vuông góc với cạnh đối diện.

=> Do đó, \( QM \perp BC \).

---

**d) Kẻ \( MH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \), \( MK \) vuông góc với \( AC \) tại \( K \). Chứng minh rằng \( HK \parallel BC \)**

- Vì \( MH \perp AB \) và \( MK \perp AC \), từ giả thiết \( AB = AC \) và \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \), ta có:

\[
\angle AMH = \angle AMK = 90^\circ
\]

- Dùng định lý về góc đồng vị (từ \( MH \) và \( MK \)), suy ra \( HK \parallel BC \).

Như vậy, ta đã hoàn thành các phần của bài toán.