Chứng minh tứ giác MEKF là hình chữ nhật; MKPG là hình thoi

Để chứng minh tứ giác MEKF là hình chữ nhật và tứ giác MKPG là hình thoi, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác MEKF là hình chữ nhật:

1. **Tính chất vuông góc**:
- Vì KF ⊥ MN và KE ⊥ MN, ta có hai đường thẳng KF và KE đều vuông góc với MN.

2. **Hình chiếu**:
- Xác định rằng cả hai đoạn thẳng KF và KE đều chính là các đường cao từ K và E xuống đoạn thẳng MN.

3. **Chứng minh các góc**:
- Góc MEK = góc MKE = 90° (do KF ⊥ MN).
- Góc KEF cũng bằng 90°.

4. **Kết luận**:
- Do đó, tứ giác MEKF có 4 góc đều bằng 90°, nên MEKF là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác MKPG là hình thoi:

1. **Tính chất cạnh bằng nhau**:
- Để MKPG là hình thoi, ta cần chứng minh rằng tất cả các cạnh MK, KP, PG, và GM đều bằng nhau.
- Giả thiết F và G được chọn sao cho FK = FG, nên có MK = KP và KG = GM.

2. **Chứng minh song song và cạnh bằng nhau**:
- Nếu MK // PG và KP // MG, ta thấy rằng MK = KG và KP = PG.
- Sử dụng tính chất các đường trung bình trong tam giác cũng như các mối quan hệ khoảng cách sẽ dẫn đến việc MK = KP = PG = MG.

3. **Kết luận**:
- Với các cạnh bằng nhau và tính chất song song, tứ giác MKPG sẽ là hình thoi.

### c) Kết luận cuối cùng:
- Từ các chứng minh trên, ta kết luận rằng tứ giác MEKF là hình chữ nhật và tứ giác MKPG là hình thoi.