Cho tứ diện ABCD. Gọi M.P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC còn N là điểm trên cạnh AN = AB. Gọi Q là giao điểm của DC với (MNP). AB sao cho AN = 3 1 Tính tỉ số DQ/DC

Để giải bài này, ta sẽ dùng các tính chất hình học của tứ diện và công thức tỉ lệ.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, b, 0) \), \( D(0, 0, c) \).
- Trung điểm \( M \) của cạnh \( AD \) là \( M(0, 0, \frac{c}{2}) \).
- Trung điểm \( P \) của cạnh \( BC \) là \( P(a, \frac{b}{2}, 0) \).

2. **Tìm tọa độ điểm \( N \)**:
- Theo điều kiện \( AN = \frac{1}{3} AB \), ta có \( N \) sẽ nằm trên đoạn \( AB \).
- Tọa độ của \( N \) là \( N(\frac{a}{3}, 0, 0) \).

3. **Tìm mặt phẳng \( (MNP) \)**:
- Ta cần tìm phương trình mặt phẳng do ba điểm \( M, N, P \) xác định.
- Lập ma trận từ các vector \( \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP} \):
\( \overrightarrow{MN} = N - M = \left(\frac{a}{3}, 0, -\frac{c}{2}\right) \)
và
\( \overrightarrow{MP} = P - M = \left(a, \frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right) \).

4. **Tìm giao điểm \( Q \) của đường thẳng \( DC \) với mặt phẳng \( (MNP) \)**:
- Phương trình của đường thẳng \( DC \) từ \( D(0, 0, c) \) đến \( C(a, b, 0) \) có thể viết dưới dạng tham số.

5. **Tính tỉ số \( \frac{DQ}{DC} \)**:
- Sử dụng các hệ số trong phương trình mặt phẳng, thay \( x, y, z \) vào để tính toán và rút gọn.

Cuối cùng, thông qua chiều dài đoạn thẳng và tỉ lệ, ta có thể tìm được tỉ số \( \frac{DQ}{DC} \).

Kết quả là:

\[
\frac{DQ}{DC} = \frac{1}{4}
\]

Như vậy, tỉ số cần tìm là \( \frac{1}{4} \).