Cho phương trình x² - (m-1)x - m² + m - 2 = 0 có 2 nghiệm x1; x2. Tìm giá trị lớn nhất của A = x1² + x2²

Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hệ số của phương trình**: Phương trình có dạng \(x^2 - (m-1)x - m^2 + m - 2 = 0\) với:
- \(a = 1\)
- \(b = -(m-1)\)
- \(c = -m^2 + m - 2\)

2. **Tính tổng và tích của nghiệm**:
- Tổng nghiệm \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m - 1\)
- Tích nghiệm \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -m^2 + m - 2\)

3. **Tìm A**: Biểu thức cần tìm là:
\[
A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]
Thay vào công thức tổng và tích nghiệm:
\[
A = (m - 1)^2 - 2(-m^2 + m - 2)
\]
\[
A = (m - 1)^2 + 2m^2 - 2m + 4
\]
\[
A = m^2 - 2m + 1 + 2m^2 - 2m + 4 = 3m^2 - 4m + 5
\]

4. **Tìm giá trị lớn nhất của A**: \(A = 3m^2 - 4m + 5\) là một hàm bậc 2 theo \(m\). Để tìm giá trị lớn nhất, ta có thể tìm đỉnh của parabol.

Đỉnh parabol có tọa độ:
\[
m_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

5. **Tính A tại \(m = \frac{2}{3}\)**:
\[
A\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5
\]
\[
= 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 5 = -\frac{4}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3}
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{11}{3}\).