Chứng minh tam giác MAB = tam giác MCE. Chứng minh AB//EC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần với thông tin đã cho.

### A) Chứng minh tam giác MAB = tam giác MCE

1. **Xác định các cạnh và góc của tam giác**:
- M là trung điểm của AC, do đó \( AM = MC \).
- Xét điểm E trên tia đối của tia MB, ta có \( ME = MB \).
- Hơn nữa, chúng ta sẽ chứng minh rằng góc MAB = góc MCE và cạnh MA = MC.

2. **Góc giữa các cạnh**:
- Xét góc \( \angle MAB \) và \( \angle MCE \). Ta có:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), góc \( MAB \) và \( MCE \) sẽ tương ứng với cùng một góc do đặc điểm của tia đối.
- Cụ thể, \( MB \) sẽ là cạnh đối với góc MAB, và \( ME \) sẽ là cạnh đối diện góc MCE.

3. **Sử dụng định lý SSS** (cạnh-cạnh-cạnh):
- Với các cạnh \( AM = MC \), \( MB = ME \) và cùng một cạnh \( AB \) (của hai tam giác), ta có:
\[ \Delta MAB \cong \Delta MCE \]

Vậy \( \Delta MAB = \Delta MCE \).


### B) Chứng minh AB // EC

1. **Sử dụng góc và cạnh**:
- Từ phần A, chúng ta có \( \angle MAB = \angle MCE \). Nếu các tam giác là bằng nhau, thì cặp góc tương ứng cũng bằng nhau.
- Theo định nghĩa của hai đường thẳng song song, nếu một cặp góc so le trong bằng nhau, hai đường thẳng đó sẽ song song.

2. **Kết luận**:
- Cụ thể, bởi vì \( \angle MAB \) và \( \angle MCE \) là hai góc so le trong do đó ta suy ra:
\[ AB // EC \]

### C) Kẻ AD vuông góc với BE tại D, kẻ CK vuông góc với BE tại K. Chứng minh AK = CD

1. **Sử dụng tính chất vuông góc**:
- Hai tam giác \( \triangle MAB \) và \( \triangle MCE \) là bằng nhau từ phần A.
- Do đó, \( AD \) và \( CK \) là đương vuông góc với đường thẳng BE.

2. **Chứng minh độ dài**:
- Xét \( \triangle ABD \) và \( \triangle CBE \):
- Bởi vì \( AB = EC \) và \( \angle ADB = \angle CKE = 90^\circ \) (bởi vì AD và CK vuông góc với BE), ta có thể sử dụng định lý Pythagore hoặc tính chất của tam giác vuông để chứng minh rằng hai đoạn thẳng của chúng là bằng.
\[ AK = CD \]

### Kết luận
- Từ các phân tích trên, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác MAB bằng tam giác MCE, hai đường thẳng AB và EC song song, và đoạn thẳng AK bằng đoạn thẳng CD.