Để giải bài toán, ta cần tìm các giá trị của m sao cho phương trình \(x^2 - 2mx - 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), đồng thời thỏa mãn điều kiện \(x_1^3 + 9x_2 = 0\).

1. **Xác định điều kiện nghiệm phân biệt**:

Phương trình bậc 2 \(x^2 - 2mx - 9 = 0\) có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) > 0
\]

Tính toán:

\[
\Delta = 4m^2 + 36 > 0
\]

Điều này luôn đúng vì \(4m^2 + 36\) luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của \(m\).

2. **Tìm nghiệm của phương trình**:

Nghiệm của phương trình là:

\[
x_{1,2} = \frac{2m \pm \sqrt{\Delta}}{2}
\]

3. **Thỏa mãn điều kiện**:

Từ điều kiện \(x_1^3 + 9x_2 = 0\), ta có:

\[
x_1^3 = -9x_2
\]

Khi đó,

\[
x_2 = \frac{2m - \sqrt{\Delta}}{2}
\]

và

\[
x_1 = \frac{2m + \sqrt{\Delta}}{2}
\]

Thay \(x_2\) vào điều kiện:

\[
\left(\frac{2m + \sqrt{\Delta}}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{2m - \sqrt{\Delta}}{2}\right) = 0
\]

Sau khi thay thế, ta có phương trình phụ thuộc vào \(m\) và \(\sqrt{\Delta}\). Tuy nhiên, cách tốt nhất để giải nhanh là xử lý các biểu thức trực tiếp. Phương trình trở thành phức tạp.

4. **Giải phương trình**:

Gọi \(x_1 = \frac{2m + \sqrt{4m^2 + 36}}{2}\) và \(x_2 = \frac{2m - \sqrt{4m^2 + 36}}{2}\).

Để thay \(x_1\) và \(x_2\) vào điều kiện \(x_1^3 + 9x_2 = 0\) thì ta có:

\[
\begin{align*}
\left(\frac{2m + \sqrt{4m^2 + 36}}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{2m - \sqrt{4m^2 + 36}}{2}\right) = 0 \\
\Rightarrow \left(2m + \sqrt{4m^2 + 36}\right)^3 + 9(2m - \sqrt{4m^2 + 36}) = 0
\end{align*}
\]

Rất tiếc với những biểu thức phức tạp như vậy, ta có thể giải bằng cách tính thử với các giá trị cụ thể của m, như m = 3, 4...

5. **Kiểm tra giá trị cho m**:

Bắt đầu với m = 3:

\[
x_1^3 + 9x_2 = (3 + \sqrt{9+36})^3 + 9(3 - \sqrt{9+36})
\]

Thử tiếp đến khi thoả điều kiện trên.

**Kết luận:**

Việc tìm m có thể đòi hỏi tính toán và thử nghiệm dần các giá trị cho đến khi thỏa mãn điều kiện. Nếu m = 0 cũng có thể được kiểm tra.

Thật khó để đưa một giá trị hay công thức chính xác cho m trong những điều kiện này, cần thực hiện tính toán thử cho những giá trị mẫu.