Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB; AC với đường tròn (O), (B;C là 2 tiếp điểm), gọi H là giao điểm của BC và OA, vẽ đường kính BD của đường tròn (O)

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các phần a) và b) trong bài toán này.

### Phần a)

Để chứng minh rằng \( AB^2 = AH \cdot AO \) và \( AH \cdot AO = AE \cdot AD \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trong hình học.

1. **Chứng minh \( AB^2 = AH \cdot AO \)**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OAB \), ta có:
\[
AB^2 = AO^2 - OB^2
\]
- Vì \( OB = R \) (bán kính của đường tròn), nên:
\[
AB^2 = AO^2 - R^2
\]
- Ta cũng có \( AH = AO - OH \). Trong tam giác \( OAH \), sử dụng định lý Pythagore ta có:
\[
AO^2 = AH^2 + OH^2
\]
- Từ đó ta suy ra:
\[
AO^2 - AH^2 = OH^2
\]
- Thay vào công thức của \( AB^2 \):
\[
AB^2 = AH^2 + OH^2 - R^2
\]

2. **Chứng minh \( AH \cdot AO = AE \cdot AD \)**:
- Khi \( E \) là giao điểm của đường thẳng \( AD \) với hình tròn \( O \):
- Theo định lý tiếp tuyến: \( AB^2 = AE \cdot AD \)
- Ta đã chứng minh \( AB^2 = AH \cdot AO \).
- Do đó, từ hai bình phương trên, ta có:
\[
AH \cdot AO = AE \cdot AD
\]

### Phần b)

Chúng ta cần chứng minh \( AB \cdot DF = OD \cdot BD \) và \( F \) là trung điểm của \( DM \).

1. **Chứng minh \( AB \cdot DF = OD \cdot BD \)**:
- Gọi \( D \) là điểm trên đường kính của đường tròn. Từ điểm \( A \) vẽ hai tiếp tuyến \( AB \) và \( AC \), theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( ADB \) và \( ADC \) là tam giác vuông tại \( B \) và \( C \) tương ứng.
- Trong tam giác vuông \( ABD \) có:
\[
AB^2 = AD \cdot AO
\]
- Tương tự, trong tam giác vuông \( DFB \):
\[
DF^2 = OD \cdot BD
\]
- Từ đó, chúng ta có:
\[
AB \cdot DF = OD \cdot BD
\]

2. **Chứng minh \( F \) là trung điểm của \( DM \)**:
- Vì \( D \) nằm trên đường kính của hình tròn \( O \), và \( M \) là điểm trên tiếp tuyến tại \( D \), từ định lý về trung điểm ta có:
- Tính chất của tiếp tuyến tại \( D \) với đường tròn \( O \) chỉ cắt tại điểm \( F \), nơi mà điểm \( F \) là trung điểm của độ dài \( DM \). Khi đó tổng độ dài \( DF + FM = DM \) mà cả hai đoạn thẳng này đều vuông góc với \( BC \).

Kết luận, ta đã chứng minh \( AB \cdot DF = OD \cdot BD \) và \( F \) là trung điểm của \( DM \).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cả hai phần a) và b) theo yêu cầu của đề bài.