Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Lấy điểm C trên nửa đường tròn (0) sao cho AC > BC. Tia OH cất tiếp tuyến Ax của nữa đường tròn tại điểm D

Để giải bài toán trên, ta sẽ xử lý từng phần một:

### a) Chứng minh hệ thức \( OH \cdot OD = R^2 \)

- Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn, \( A \), \( B \) là các điểm trên đường kính.
- Theo định nghĩa, \( R \) là bán kính, tức là \( OA = OB = R \).
- Vì \( OH \perp AC \) tại \( H \), ta có tam giác vuông \( OHA \).
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( OHA \):

\[
OA^2 = OH^2 + AH^2
\]

- Tương tự với tam giác \( OHD \):

\[
OD^2 = OH^2 + HD^2
\]

- Đặt \( AH = x \) thì \( AC = AH + HC \) và \( HC = \sqrt{AC^2 - AH^2} \).
- Từ đây ta có thể biến đổi để đi đến kết luận \( OH \cdot OD = R^2 \) bằng cách sử dụng các mối quan hệ trong tam giác vuông.

### b) Gọi \( E \) là giao của \( BD \) với nửa đường tròn.

Chứng minh bốn điểm \( A, D, E, H \) cùng thuộc một đường tròn và \( DC \) là tiếp tuyến của \( (O) \).

- Ta sẽ chứng minh rằng góc \( ADB = \angle AHB \) (mà \( H \) là chân vuông góc từ \( O \) đến \( AC \)), từ đó suy ra \( ADHE \) tạo thành một tứ giác nội tiếp.
- Do tiếp tuyến tại \( D \) vuông góc với bán kính \( OD \), suy ra Ơ \( D \) nên tiếp tuyến \( AC \) sẽ chiếu lên \( E \) trên \( BD \).

### c) Gọi \( M \) là trung điểm của \( DH \) và \( I \) là giao của \( AM \) với nửa đường tròn.

Chứng minh 3 điểm \( B, H, I \) thẳng hàng.

- Từ sự vuông góc của các đường nối với \( O \) và vị trí của các điểm, có thể sử dụng tính chất của các tam giác vuông để chỉ ra rằng \( B, H, D \) và tiếp theo là điểm \( I \) cũng sẽ thẳng hàng, nhờ vào việc \( AM \) sẽ cắt qua đường tròn tại điểm \( I \).

### 4. Giải phương trình:

\[
\frac{x^2}{(\sqrt{x+1}+1)^2} = x - 4
\]

- Đầu tiên, nhân chéo và đưa về một phương trình tổng quát.
- Giải phương trình này bằng cách khai triển, rút gọn, và tìm nghiệm.

Trên đây là ý tưởng từng bước để chứng minh và giải các phần của bài toán. Các bước chi tiết sẽ yêu cầu thêm các phép toán cụ thể để xác minh.