Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các hình học cơ bản.

### a) Chứng minh rằng tam giác \(AMB = AMC\)

Ta có:

- \(AB = AC\) (điều kiện đề bài)
- \(M\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BM = MC\).

Xét tam giác \(AMB\) và \(AMC\):
- Cạnh \(AB = AC\)
- Cạnh \(AM = AM\) (cạnh chung)
- Cạnh \(BM = MC\)

Theo tiêu chuẩn về tam giác (cạnh - cạnh - cạnh), ta có thể kết luận rằng:
\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]
Vì vậy, từ đó ta có \( \angle AMB = \angle AMC \) và \( \triangle AMB = \triangle AMC \).

### b) Chứng minh rằng \(AM\) là tia phân giác của góc \(BAC\)

Từ kết luận ở phần a), ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

Từ tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có \( \angle AMB = \angle AMC \). Điều này có nghĩa là tia \(AM\) chia góc \(BAC\) thành hai góc bằng nhau. Do đó, \(AM\) là tia phân giác của góc \(BAC\).

### c) Chứng minh rằng \(AB \parallel CD\) khi \(D\) được chọn sao cho \(MD = MA\)

Từ \(AB \parallel AC\) (do \(AB = AC\)), và từ phần b) ta biết rằng \(AM\) là tia phân giác nên nó chia đều góc \(BAC\).

Xét \(D\) nằm trên tia đối của \(MA\) sao cho \(MD = MA\). Như vậy, \(M\) nằm giữa \(A\) và \(D\). Ta có \(MD = MA\) nên \(D\) và \(B\), \(C\) đều nằm trên một đường thẳng.

Bây giờ, ta có các cặp góc sau:

1. \( \angle DAB = \angle BAM\) (do \(M\) là trung điểm)
2. \( \angle DAC = \angle CAM\) (do \(M\) là trung điểm)

Do đó, theo định nghĩa của hai đường thẳng song song, ta có:

\[
\angle DAB + \angle DAC = \angle BAM + \angle CAM = \angle BAC
\]

Giả sử hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm \(M\), vì vậy \( \triangle ABD \sim \triangle AMC\).

Và từ tính chất này, ta có:
\[
AB \parallel CD
\]

### Kết luận

Đã chứng minh xong:
a) Tam giác \(AMB = AMC\).
b) \(AM\) là tia phân giác của góc \(BAC\).
c) \(AB \parallel CD\).