Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB

Hãy giải từng phần của bài toán theo yêu cầu:

### a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Bởi vì MA và MB là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O), ta có hai tính chất:

1. MA vuông góc với OA (tại A).
2. MB vuông góc với OB (tại B).

Từ đó, trong tam giác OMA và OMB, ta có:

- ∠OMA = 90° - ∠OAM
- ∠OMB = 90° - ∠OBM

Ta có:

\[
\angle OAB = \angle OMA
\]

Và:

\[
\angle OBA = \angle OMB
\]

Như vậy, tổng các góc trong tứ giác MOAB là:

\[
\angle OMA + \angle OAB + \angle OMB + \angle OBA = 180°
\]

Từ đó, các điểm M, A, O, B chắn chắn cùng nằm trên một đường tròn (theo định lý tứ giác nội tiếp).

### b) Chứng minh OM ⊥ AB tại I.

Gọi I là giao điểm của OM và AB.

* Chứng minh:

Dựa vào định lý về tiếp tuyến và dây cung, ta có:

- MA vuông góc với OA tại A,
- MB vuông góc với OB tại B.

Do đó, trong tứ giác MOAB mà chúng ta chứng minh trên, ta đã có \( MA \) và \( MB \) vuông góc với OA và OB.

Giả sử I là giao điểm của OM và AB. Theo tính chất của đường tròn, ta có:

Từ I, nếu chúng ta kéo một đường thẳng đến O, đường này sẽ chia tứ giác MOAB thành các tam giác theo tỷ lệ nhất định. Như vậy tại I:

\[
OM \perp AB
\]

Do vậy, ta kết luận được \( OM \perp AB \) tại I.

### c) Chứng minh ABDC vuông, từ đó suy ra: MD.MC = MI.MO.

1. Gọi BC là đường kính của đường tròn (O), do đó D là điểm đối xứng với B qua O.

2. Xét tam giác ABD, ta có:

- \( \angle ABD = \angle OMA + \angle OMB = 90° + 90° - \angle AOB = 90°\).

Vì MA, MB là tiếp tuyến từ M nên MAB vuông giác tại điểm A và B. Suy ra tứ giác ABDC có 1 góc vuông tại B, và do đó \( ABDC\) là tứ giác vuông.

3. Áp dụng định lý về hình chóp, chúng ta được:

\[
MD.MC = MI.MO.
\]

Vì M là điểm ngoài đường tròn, MC là tiếp tuyến còn MI và MO là hai đoạn nối từ M đến hai điểm I và O.

Kết quả này là đúng theo định lý tiếp tuyến và đoạn nối với đường tròn. Từ đó ta suy ra được \( MD . MC = MI . MO \).

### Kết luận
Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn tất giải bài toán theo yêu cầu và dẫn dắt để chứng minh các khái niệm và mối quan hệ của hình học trong bài toán này.