Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau đây:

### a) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành:

- **Các điểm thuộc tam giác**: Ta có tứ giác BEIF với:
- \( E \) là trung điểm của \( AB \)
- \( F \) là trung điểm của \( AC \)
- \( I \) là giao điểm của đường thẳng từ \( E \) song song với \( BF \) và \( GF \).

- **Đường thẳng song song**: Từ định nghĩa, đường thẳng \( EI \) song song với \( BF \). Do đó, ta có:
\[
\text{Góc } BEI = \text{Góc } BFI \quad (\text{góc đồng vị})
\]
\[
\text{Góc } EIB = \text{Góc } FIB \quad (\text{góc đồng vị})
\]

- **Tương tự cho các cạnh**:
- Ta biết rằng \( E \) và \( F \) là trung điểm, nên \( EF \) song song với \( BI \) và \( EI \) song song với \( BF \).

- **Kết luận tứ giác BEIF**: Với các cặp góc đồng vị và các cạnh song song, ta có thể kết luận tứ giác BEIF là hình bình hành (sử dụng tính chất của hình bình hành).

### b) Chứng minh tứ giác AGCI là hình thoi:

- **Các yếu tố cần chứng minh**: Để chứng minh AGCI là hình thoi, ta cần chứng minh rằng:
1. \( AG = CI \)
2. \( AC = GI \)
3. Cả hai đường chéo \( AI \) và \( GC \) cắt nhau tại trung điểm.

- **Sử dụng tứ giác vừa chứng minh**: Từ tứ giác BEIF là hình bình hành, ta có:
\[
BE = EF
\]
và góc giữa các cạnh đều bằng nhau.

- **Công thức đo khoảng cách**: Do \( G \) và \( F \) là trung điểm của \( AC \) và \( BC \) nên:
\[
AG = FC \quad \text{và} \quad AI = GC
\]

- **Kết luận**: Nếu \( AG = CI \) và \( AI \) cắt nhau tại trung điểm, tứ giác AGCI sẽ là hình thoi.

Cuối cùng, tóm tắt lại:
- Tứ giác BEIF là hình bình hành do các góc và cạnh song song.
- Tứ giác AGCI là hình thoi do hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn trong việc chứng minh!