Để tính diện tích tam giác ABC, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về hình học.

1. **Gọi**:
- \( S \) là diện tích của tam giác ABC.
- \( BC = 67 \) dm.
- \( CD = 15 \) dm là đoạn kéo dài từ B đến C.

2. **Diện tích tam giác sau khi kéo dài**:
Khi kéo dài đoạn BC thêm \( CD \) thì diện tích tam giác tăng thêm \( 255 \) dm². Do đó, diện tích tam giác mới \( S' = S + 255 \).

3. **Công thức diện tích**:
Diện tích tam giác được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times h
\]
Trong đó:
- \( a \) là cạnh đáy (ở đây là \( BC \)).
- \( h \) là chiều cao tương ứng với cạnh đáy.

4. **Tính toán**:
Khi kéo dài đoạn BC thêm \( CD \) thì chiều dài mới của cạnh đáy là:
\[
a' = BC + CD = 67 + 15 = 82 \text{ dm}
\]

Nếu chiều cao của tam giác không thay đổi, chúng ta có công thức mới cho diện tích:
\[
S' = \frac{1}{2} \times 82 \times h
\]

Từ điều kiện \( S' - S = 255 \):
\[
\frac{1}{2} \times 82 \times h - \frac{1}{2} \times 67 \times h = 255
\]

5. **Giải phương trình**:
\[
\frac{1}{2} \times h (82 - 67) = 255
\]
\[
\frac{1}{2} \times h \times 15 = 255
\]
\[
15h = 510
\]
\[
h = \frac{510}{15} = 34 \text{ dm}
\]

6. **Tính diện tích ban đầu**:
Bây giờ chúng ta tính diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \times 67 \times 34
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times 2278 = 1139 \text{ dm}^2
\]

**Kết luận**: Diện tích tam giác ABC là \( 1139 \text{ dm}^2 \).