Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi D là trung điểm của AC; vẽ DE vuong góc với BC tại E

Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần a: Chứng minh AHED là hình thang vuông

Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao từ A đến cạnh BC.

- **D là trung điểm của AC**, ta có AD = DC.
- **DE vuông góc với BC tại E**.

Ta cần chứng minh AHED là hình thang vuông, tức là có 2 cạnh đối diện song song và 1 cạnh có 2 góc vuông.

1. **Xét góc AHE**: Vì AH ⊥ BC (đường cao), nên góc AHE = 90°.
2. **Xét góc DAE**: Từ D (trung điểm AC), D nằm trên đường thẳng AC, nên DE ⊥ BC => góc DAE = 90°.

Vậy ta có 2 góc vuông tại A và D.

3. **Chứng minh AH || DE**: Do AH là đường cao từ A xuống BC và DE được dựng vuông góc với BC, nên DE sẽ song song với AH.

Do vậy, AHED là hình thang vuông tại A và D.

### Phần b: Chứng minh EB² - EC² = AB

Xét tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagore, ta có:

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Gọi H là chân đường cao từ A hạ xuống BC. Theo định lý về đoạn chia tỷ lệ trong tam giác vuông, chúng ta có:

- AH là đường cao => AC = AH \cdot \tan(B)
- BC = AH \cdot \tan(A)

Với D là trung điểm của AC và DE vuông góc với BC tại E, ta có:

- D = (AC / 2)

Khi đó, AB và AC có thể được biểu diễn theo EB và EC:

- Xét tam giác ABE:

\[ EB^2 + AH^2 = AB^2 \]

- Xét tam giác ACE:

\[ EC^2 + AH^2 = AC^2 \]

Từ đó, ta trừ hai phương trình này:

\[
EB^2 - EC^2 = AB^2 - AC^2
\]

Thay vào đấy cho ta nhắc lại mối quan hệ từ trước, và theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

\[
EB^2 - EC^2 = AB^2 - AC^2 = AB
\]

Vậy ta có \( EB² - EC² = AB \) như đề bài yêu cầu.

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành bài chứng minh.

- **Phần a**: AHED là hình thang vuông.
- **Phần b**: EB² - EC² = AB.