Chúng ta sẽ giải bài toán theo các bước sau:

1. **Ký hiệu các thông số:**
- Gọi đáy lớn là \( a \) và đáy nhỏ là \( b \).
- Theo đề bài, ta có:
\[
a + b = 18 \text{ cm}
\]

2. **Diện tích hình thang:**
- Diện tích của hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(a + b)h}{2}
\]
- Trong đó \( h \) là chiều cao của hình thang.

3. **Khi mở rộng đáy lớn thêm 5 cm:**
- Đáy lớn trở thành \( a + 5 \).
- Diện tích mới sẽ là:
\[
S' = \frac{(a + 5 + b)h}{2}
\]
- Diện tích tăng thêm 10 cm², nên ta có:
\[
S' - S = 10 \text{ cm}^2
\]

4. **Tính toán sự thay đổi diện tích:**
- Từ công thức cho diện tích mới, ta có:
\[
S' = \frac{(a + 5 + b)h}{2} = \frac{(a + b + 5)h}{2}
\]
- Thay \( a + b = 18 \):
\[
S' = \frac{(18 + 5)h}{2} = \frac{23h}{2}
\]
- Giờ hãy tính \( S' - S \):
\[
S' - S = \frac{23h}{2} - \frac{(a + b)h}{2} = \frac{23h}{2} - \frac{18h}{2} = \frac{5h}{2}
\]

5. **Đặt phương trình từ điều kiện tăng thêm 10 cm²:**
- Theo đề bài, \( \frac{5h}{2} = 10 \)
- Giải phương trình:
\[
5h = 20 \implies h = 4 \text{ cm}
\]

6. **Tính diện tích hình thang ABCD:**
- Bây giờ thay \( h \) vào công thức diện tích:
\[
S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(18)(4)}{2} = \frac{72}{2} = 36 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích hình thang ABCD là \( \boxed{36} \text{ cm}^2 \).