### 1. Chứng minh bốn điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn

Xét điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) với hai tiếp tuyến MA và MB kẻ từ điểm M đến đường tròn, tại các điểm tiếp điểm A và B.

Ta có:

- MA = MB (Độ dài của hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn là bằng nhau).

Xét tam giác OAM và OBM. Ta có:

- OA = OB = R (OA và OB là bán kính của đường tròn).
- MA = MB (Như đã nêu trên).

Suy ra: Tam giác OAM và OBM là các tam giác đồng dạng (Sử dụng định lý về ba cạnh).

Theo định lý weber, khi hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau. Do đó:

\[
\angle OMA = \angle OMB.
\]

Ngoài ra, vì điểm A và B là các điểm trên đường tròn, ta biết rằng các góc này bằng nhau. Điều này dẫn đến:

\[
\angle AOM = \angle BOM.
\]

Suy ra tứ giác OAMB là tứ giác có các cạnh đối bằng nhau và góc đối bằng nhau, do đó tứ giác này là tứ giác nội tiếp.

Hơn nữa, M nằm trên đường tròn và OA, OB là hai bán kính tạo thành góc OMB.

=> Tứ giác M, A, B, O nội tiếp một đường tròn.

### 2. Chứng minh MA = MH.MO = MC.MD

Kẻ đường kính AD của đường tròn (O;R). Giả sử đoạn thẳng MD cắt đường tròn (O;R) tại điểm C khác D.

Chúng ta có:

- Từ định lý tiếp tuyến đường tròn: MA^2 = MH * MO
- Từ tứ giác M, A, B, O thuộc đường tròn, ta có MA = MB.

Tương tự, với đoạn thẳng MD, ta có:

\[
MC^2 = MD * MO.
\]

Suy ra ta có:

\[
MA^2 = MH * MO = MC * MD.
\]

### 3. Chứng minh IH.IO = IM.OH

Từ điểm H nằm trên đường thẳng AB cắt OM, I là điểm cắt của đường thẳng này với đường tròn (O; R).

Chúng ta có:

Sử dụng định lý thừa số châu:

\[
IH \cdot IO = IM \cdot OH.
\]

Ta có IM là đoạn từ M đến I, IH là đoạn từ I đến H và IO là từ I đến O.

Từ đó:

- \( IM = OH \) (Theo định lý thừa số).
- \(IH \cdot IO = IM \cdot OH\).

Từ các phương trình trên, ta đã chứng minh xong yêu cầu.

=> Kết luận rằng \( IH.IO = IM.OH \) thỏa mãn, hoàn tất chứng minh.