Để giải phương trình \((x - \frac{2}{9})^3 = \left(\frac{8}{27}\right)^3\), ta thực hiện như sau:

1. Áp dụng tính chất của phép khai phương, ta có:
\[
x - \frac{2}{9} = \frac{8}{27} \quad \text {hoặc} \quad x - \frac{2}{9} = -\frac{8}{27}
\]

2. Giải từng trường hợp:

- Trường hợp 1:
\[
x - \frac{2}{9} = \frac{8}{27}
\]
Ta cộng \(\frac{2}{9}\) vào cả hai vế:
\[
x = \frac{8}{27} + \frac{2}{9}
\]
Ta chuyển \(\frac{2}{9}\) về mẫu số chung là 27:
\[
\frac{2}{9} = \frac{6}{27}
\]
Do đó:
\[
x = \frac{8 + 6}{27} = \frac{14}{27}
\]

- Trường hợp 2:
\[
x - \frac{2}{9} = -\frac{8}{27}
\]
Ta cũng cộng \(\frac{2}{9}\) vào cả hai vế:
\[
x = -\frac{8}{27} + \frac{2}{9}
\]
Đưa \(\frac{2}{9}\) về mẫu số chung là 27:
\[
\frac{2}{9} = \frac{6}{27}
\]
Do đó:
\[
x = -\frac{8}{27} + \frac{6}{27} = -\frac{2}{27}
\]

3. Kết luận: Các nghiệm của phương trình là
\[
x = \frac{14}{27} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{2}{27}
\]