Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x}}{x-4} + \frac{2}{2-\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} \), chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

1. **Rút gọn từng phần**:

- Phần đầu tiên: \(\frac{\sqrt{x}}{x-4}\)
- Phần thứ hai: \(\frac{2}{2-\sqrt{x}} = \frac{2(2+\sqrt{x})}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})} = \frac{2(2+\sqrt{x})}{4-x}\)
- Phần thứ ba: \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

2. **Tìm mẫu chung**:
Mẫu chung là \((x-4)(4-x)(\sqrt{x}+2)\).

3. **Chuyển đổi từng phần về mẫu chung**:
- Phần đầu: \(\frac{\sqrt{x}(4-x)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(4-x)(\sqrt{x}+2)}\)
- Phần hai: \(\frac{2(2+\sqrt{x})(x-4)}{(4-x)(\sqrt{x}+2)(x-4)}\)
- Phần ba: \(\frac{(x-4)(4-x)}{(4-x)(\sqrt{x}+2)(x-4)}\)

4. **Kết hợp lại**:
Sau khi đã thay đổi tất cả về mẫu chung, bạn có thể gộp các phần lại và rút gọn.

Cuối cùng, bạn kiểm tra và đưa ra giá trị của \(x\) để đảm bảo biểu thức có ý nghĩa.

**Bước tiếp theo** sẽ là tìm giá trị nguyên của \(x\) đảm bảo \(P\) là giá trị nguyên.

Tiến hành tính toán cụ thể và kiểm tra cho các giá trị \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\).

Nếu bạn cần chi tiết từng bước hoặc cụ thể các phép toán, hãy cho tôi biết!