Chứng minh: tam giác ABM=tam giác ACM

Để chứng minh các yêu cầu nêu trên, ta thực hiện từng phần như sau:

**a) Chứng minh: tam giác ABM = tam giác ACM**

Tam giác ABM và tam giác ACM có các yếu tố sau:

- M là trung điểm của BC, nên \( BM = MC \).
- Hai cạnh chung: \( AM \).

Vì vậy, theo tiêu chí đồng chữ (SAS), ta có:
\[ ABM \cong ACM \]
Hay:
\[ \triangle ABM \equiv \triangle ACM \]

**b) Chứng minh AB // NC và CB là tia phân giác của góc ACN.**

Từ phần a), ta rút ra rằng \( AB = AC \). Xét tam giác ACN:

- Gọi MA = MN ⇒ M là trung điểm của AN.
- Từ \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \), ta suy ra rằng \(
Do đó, từ tính chất góc tương ứng và vì M là trung điểm của AN, ta có:
\[ AB \parallel NC \]
Hơn nữa, cả BM và CN đều cắt tại b điểm M. Vậy CB là phân giác của góc ACN.

**c) Chứng minh BE = CF**

Gọi E là giao điểm của tia phân giác AB tại AM và F là giao điểm của tia phân giác NC tại MN. Theo công thức tia phân giác, ta có:

- \( \dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AC}{MC} \)
- \( \dfrac{CF}{FB} = \dfrac{AC}{MC} \)

Theo tính chất phân giác cho thấy AE tương đương với CF nên:
\[ BE = CF \]

**d) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.**

Gọi H là trung điểm của BE và K là trung điểm của CF. Theo đó, ta có:

- \( H \) và \( K \) nằm trên đoạn thẳng \( MN \).
- Căn cứ vào tính chất trung điểm, với tám giác ABM và ACM mô tả chéo nhau nên H, M, K sẽ thẳng hàng.

Để chứng minh, ta có:
\[ HM: MK = BE: CF \]

Suy ra H, M, K thẳng hàng vì H, K là trung điểm của hai đoạn thẳng song song.

Như vậy, ta đã hoàn thành tất cả yêu cầu trong bài chứng minh.