Chúng ta sẽ chứng minh từng phần theo thứ tự:

### a) Chứng minh: tam giác AMB = tam giác AMC

- Trong tam giác ABC, chúng ta có \( AB = AC \).
- M là trung điểm của BC, vậy \( BM = MC \).
- Đồng thời, hai cạnh AM chung cho cả hai tam giác AMB và AMC.

Sử dụng tiêu chí hai cạnh và góc kẹp:
- \( AB = AC \) (giả thiết)
- \( BM = MC \) (M là trung điểm)
- \( AM = AM \) (cạnh chung)

Từ đó, ta suy ra \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \) (cộng đồng thức).

### b) Chứng minh: AE = AF

- Ta có các đường thẳng ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC.
- Vì \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \) (đã chứng minh ở phần a), ta có:
\[
\angle AMB = \angle AMC
\]

- Do đó, các góc \( \angle AEM \) và \( \angle AFM \) tạo thành các góc vuông:
\[
\angle AEM = \angle AFM = 90^\circ
\]

- Như vậy, \( AE \) và \( AF \) sẽ là các cạnh đối diện trong tam giác vuông, nên có:
\[
AE = AF
\]

### c) Chứng minh rằng: EF // BC

- Từ phần b), chúng ta đã biết \( AE = AF \) và \( \angle AEM = \angle AFM = 90^\circ \).

- Từ đó suy ra rằng các đoạn thẳng EF vuông góc với AM (vì ME và MF đều vuông góc với AB và AC tương ứng).

- Hơn nữa, vì AM là đường trung bình của tam giác ABC, nên EF song song với BC.

### d) Chứng minh: A, M, N thẳng hàng

- Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, gọi điểm cắt là \( P \).
- Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, gọi điểm cắt là \( Q \).

- Ta có \( \angle PAB = \angle QAC = 90^\circ \).

- Vì \( A, M, B \) thuộc tam giác cân (AB = AC) và các đường vuông góc từ B và C là các đường trung tuyến (BM, CM) với M là trung điểm của BC.

- Theo tính chất các hình thang và hệ thức đồng mức của các đường vuông góc, sự tiếp giáp tại điểm N khiến cho A, M, N thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã hoàn tất toàn bộ các chứng minh theo từng phần yêu cầu.