Tìm giá trị nhỏ nhất: 5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta sẽ tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình để tìm các điểm cực trị.

1. **Tính đạo hàm riêng theo \( x \)**:

\[
\frac{\partial S}{\partial x} = 10x + 8y - 2
\]

2. **Tính đạo hàm riêng theo \( y \)**:

\[
\frac{\partial S}{\partial y} = 10y + 8x + 2
\]

3. **Giải hệ phương trình**:

Ta có hệ phương trình:

\[
10x + 8y - 2 = 0 \quad (1)
\]
\[
8x + 10y + 2 = 0 \quad (2)
\]

Từ (1), ta có:

\[
10x + 8y = 2 \implies y = \frac{2 - 10x}{8} = \frac{1 - 5x}{4}
\]

Thay \( y \) vào (2):

\[
8x + 10\left(\frac{1 - 5x}{4}\right) + 2 = 0
\]
\[
8x + \frac{10 - 50x}{4} + 2 = 0
\]
\[
8x + \frac{10}{4} - \frac{50x}{4} + 2 = 0
\]
\[
8x - \frac{50}{4}x + \frac{10 + 8}{4} = 0
\]
\[
\frac{32x}{4} - \frac{50x}{4} = -\frac{18}{4}
\]
\[
-18x = -18 \implies x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào \( y = \frac{1 - 5(1)}{4} = \frac{1 - 5}{4} = -1 \).

Vậy điểm cực trị là \( (1, -1) \).

4. **Tính giá trị của biểu thức tại điểm cực trị**:

\[
S(1, -1) = 5(1)^2 + 5(-1)^2 + 8(1)(-1) - 2(1) + 2(-1) + 2
\]
\[
= 5 + 5 - 8 - 2 - 2 + 2
\]
\[
= 5 + 5 - 8 - 2 - 2 + 2 = 0
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là **0** tại điểm \( (1, -1) \).