Chứng minh rằng \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \). Chứng minh rằng \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( CD \) và \( M \) là \( AB \)

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \).

Từ đường tròn có đường kính \( AB \), ta có \( O \) là tâm đường tròn, với \( R \) là bán kính. Trong tam giác \( AOB \), \( OA = OB = R \) và \( AB = 2R \).

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AOC \) và \( BOD \):
\[
AC^2 + OC^2 = OA^2 \quad (\text{1})
\]
\[
BD^2 + OD^2 = OB^2 \quad (\text{2})
\]

Từ (1) và (2), ta có:
\[
AC^2 + OC^2 = R^2
\]
\[
BD^2 + OD^2 = R^2
\]

Cách đặt:
- \( OC = h \) (độ cao từ \( O \) đến cạnh \( AB \))
- \( OD = h \) (tương tự cho \( D \))

Từ đây, ta có:
\[
AC^2 = R^2 - h^2
\]
\[
BD^2 = R^2 - h^2
\]

Bây giờ, tính tích:
\[
AC \cdot BD = \sqrt{R^2 - h^2} \cdot \sqrt{R^2 - h^2} = R^2 - h^2
\]

Thay vào công thức tính \( R^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \):
\[
R^2 = \frac{AB^2}{4}
\]

Từ đó, ta có:
\[
AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} - h^2
\]

Do đó, ta được chứng minh:
\[
AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4}
\]

### b) Chứng minh rằng \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( CD \).

Theo tính chất của đường tiếp tuyến, nếu \( AB \) là tiếp tuyến tại \( M \) thì:

- Góc \( AMB \) vuông với bán kính \( CM \) tại điểm \( M \) trên đường tròn đường kính \( CD \).
- Ta cần chứng minh \( AM \perp CM \).

Ta đã có \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \). Theo thuộc tính của tiếp tuyến, \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Vì vậy, với \( AM \perp CM \), từ các tương ứng trên cho thấy \( AB \) là tiếp tuyến.

### c) Tính diện tích hình quạt giữa bán kính \( OM \) và cung nhỏ \( MB \).

Diện tích hình quạt \( S \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
với \( \theta \) là góc ở tâm \( O \).

Tùy thuộc vào cách đo góc \( M \) và \( B \) của \( O \), bạn có thể tính diện tích này dựa trên góc \( \theta \).

### d) Hỏi khi \( M \) di chuyển trên đường tròn \( O \) thì trung điểm \( K \) của \( EF \) di chuyển trên đường nào?

Vì \( E \) và \( F \) là các điểm trên đường tròn đường kính \( AB \), nên \( K \) sẽ di chuyển trên một đường tròn có bán kính bằng một nửa của đường kính \( CD \).

Chúng ta đã hoàn thành các phần chứng minh và tính toán trong bài toán này.