Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác (D thuộc BC). Qua B kẻ đường thẳng song song với AD và cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các kết quả đã nêu, chúng ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác ABE cân
Trong tam giác \( ABC \) có \( AD \) là đường phân giác, nghĩa là \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).

Ta có đường thẳng \( BE \) song song với \( AD \), theo quy tắc đường thẳng song song, ta có:

\[
\angle ABE = \angle DAB
\]

Và vì \( AD \) là đường phân giác, nên:

\[
\angle DAB = \angle DAC
\]

Suy ra:

\[
\angle ABE = \angle DAC
\]

Từ đó, trong tam giác \( ABE \):

\[
\angle ABE = \angle AEC \quad (\text{vì } BE \parallel AD \text{ và AC là một đường thẳng})
\]

Nên, ta có:

\[
\angle ABE = \angle AEC
\]

Do đó, \( \triangle ABE \) là tam giác cân tại đỉnh A (vì 2 góc đối diện bằng nhau), suy ra \( AB = AE \).

### b) Chứng minh \( \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AC} \)
Ta thấy rằng ta đã biết \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \) do tính chất của đường phân giác.

Vì \( BE \parallel AD \), theo tỉ lệ căng của các đoạn thẳng cắt bởi đường thẳng song song, ta có:

\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AC}
\]

Cũng vậy, từ tỉ lệ của các đoạn thẳng do đường phân giác:

\[
\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC}
\]

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AC}
\]

Như vậy, các phần đã được chứng minh là đúng.