a) Chứng minh bốn điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn
Ta có:
MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)
OA = OB (bán kính)
Suy ra:
OM là đường trung trực của AB
Góc OAM = góc OBM = 90 độ
Mặt khác:
Góc MAO = góc MBO (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Từ đó:
Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO (tứ giác có hai góc đối nhau bằng 180 độ)
Vậy bốn điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh đường thẳng OH song song với đường thẳng AE và OH.OM = R²
Ta có:
OM vuông góc với AB (OM là đường trung trực của AB)
AE vuông góc với AB (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: OH // AE (cùng vuông góc với AB)
Xét tam giác OHA và tam giác OEA:
Góc OHA = góc OEA = 90 độ
OA chung
Góc HOA = góc EOA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra:
Tam giác OHA đồng dạng với tam giác OEA (g.g)
=> OH/OE = OA/OA => OH = OE
Mặt khác: OE = R (bán kính)
=> OH = R
Xét tam giác OMH:
OH vuông góc với MH (OH // AE, AE vuông góc với AB)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMH:
OH.OM = MH² = R² (vì OH = R)
c) Đường thẳng EH cắt đường tròn (O; R) tại D (D khác E). Tia MD cắt đường tròn (O; R) tại điểm C (C khác D). Chứng minh MD.AC = MH.MO
Xét tam giác MHD và tam giác MCA:
Góc MHD = góc MCA (cùng chắn cung AD)
Góc M chung
Suy ra:
Tam giác MHD đồng dạng với tam giác MCA (g.g)
=> MD/MC = MH/MA
=> MD.MA = MC.MH
Mặt khác:
MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> MD.AC = MH.MO