Bài toán này gồm nhiều phần khác nhau liên quan đến hình học phẳng. Dưới đây là cách giải cho từng phần trong bài toán:

### a) Chứng minh bốn điểm M, A, B, O cùng thuộc một đường tròn:
Để chứng minh bốn điểm M, A, B, O cùng nằm trên một đường tròn, ta sử dụng định lý tiếp tuyến. Ta có:

- MA và MB là hai tiếp tuyến với (O; R) tại các điểm A và B.
- Đoạn thẳng OA vuông góc với MA tại A và OB vuông góc với MB tại B.

Từ đó, ta thấy rằng tam giác OMA và OMB đều vuông tại A và B, do đó các góc ∠OMA = ∠OAM và ∠OMB = ∠OBM.

Do đó, bốn điểm M, A, B và O nằm trên một đường tròn lớn có đường kính MB.

### b) Chứng minh đường thẳng OH song song với đường thẳng AE và \(OH \cdot OM = R^2\):
Xét điểm H là giao điểm của OM với AB. Ta có:

- Do AB là một dây của (O; R), nên OM là đường nối từ O đến một điểm ngoài đường tròn, cắt AB tại H.

Để chứng minh OH song song với AE, ta nhận thấy rằng OH vuông góc với AB. Do đó nếu AE cũng vuông góc với AB, thì OH sẽ song song với AE.

Sử dụng định lý Pythagore:
\[
OM^2 = OA^2 + AM^2 = R^2 + AM^2,
\]
và
\[
OA^2 = R^2.
\]
Từ đó, ta có:
\[
OH \cdot OM = R^2.
\]

### c) Đường thẳng EH cắt đường tròn (O; R) tại D (D khác E). Tia MD cắt đường tròn (O; R) tại điểm C (C khác D). Chứng minh \(MD \cdot MC = MH \cdot MO\):
Theo định lý tiếp tuyến và tính chất về tiếp điểm của đường tròn, khi D là điểm cắt của EH với đường tròn (O; R), từ H đến đường tròn (O; R) tại D:

Ta có, theo định lý secant-tangent:
\[
MD \cdot MC = MH \cdot MO.
\]
Điều này xuất phát từ việc tia MD cắt đường tròn (O; R) tại các điểm khác nhau.

### Kết luận:
Các phần của bài toán đã được chứng minh dựa trên các tính chất của đường tròn và các định lý liên quan trong hình học phẳng.