Cho đường tròn (O; 3 cm), đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C sao cho BC = 3cm

Để giải bài tập này, ta bắt đầu từ những thông tin đã cho:

1. Đường tròn \((O; 3 \text{ cm})\) có đường kính \(AB\). Do đó, bán kính \(r = 3 \text{ cm}\) và chiều dài đường kính \(AB = 6 \text{ cm}\).
2. Điểm \(C\) được lấy trên đường tròn sao cho \(BC = 3 \text{ cm}\).

### a) Tính độ dài cung nhỏ \(BC\) và hình quạt tròn \(OBC\):

Để tính độ dài cung nhỏ \(BC\), trước tiên ta cần tính góc \(\angle BOC\).

- **Sử dụng định lý Cosin** cho tam giác \(OBC\):
\[ OB^2 = OC^2 + BC^2 - 2 \cdot OC \cdot BC \cdot \cos (\angle BOC) \]
Với \(OB = OC = 3 \text{ cm}\) và \(BC = 3 \text{ cm}\):
\[ 3^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos (\angle BOC) \]
\[ 9 = 9 + 9 - 18 \cdot \cos (\angle BOC) \]
\[ 0 = 9 - 18 \cdot \cos (\angle BOC) \]
\[ 18 \cdot \cos (\angle BOC) = 9 \]
\[ \cos (\angle BOC) = \frac{1}{2} \]

Điều này cho thấy rằng \(\angle BOC = 60^\circ\) (hoặc \(\frac{\pi}{3} \text{ radians}\)).

- **Độ dài cung** \(BC\):
Cung \(BC\) có thể tính bằng công thức:

\[
s = r \cdot \theta
\]
Trong đó \(r = 3 \text{ cm}\) và \(\theta = \frac{\pi}{3} \text{ radians}\):
\[
s = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \text{ cm}
\]

- **Hình quạt tròn** \(OBC\) có diện tích là:
\[
S = \frac{1}{2} r^2 \theta
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{9 \pi}{6} = \frac{3 \pi}{2} \text{ cm}^2
\]

### b) Chứng minh \(MN = MA + NB\):

Để chứng minh rằng \(MN = MA + NB\), ta cần chú ý rằng:

- \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến tại \(C\) và \(N\) là tiếp điểm của tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\).
- Theo định lý tiếp tuyến (đường tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc), ta có:
- \(MA\) vuông góc với \(OA\) tại \(A\)
- \(NB\) vuông góc với \(OB\) tại \(B\)

Trong tam giác \(MNB\), các tiếp tuyến tạo thành hai tam giác vuông \(MAB\) và \(CAB\) với:
- \(MA\) là chiều dài từ \(M\) đến điểm tiếp xúc \(A\),
- \(NB\) là chiều dài từ \(N\) đến điểm tiếp xúc \(B\).

Do đó, theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(CAB\), có \(MN = MA + NB\). Chúng ta có thể hình dung một đường thẳng từ \(M\) đến \(N\) cắt qua các điểm tiếp xúc.

Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu trên.

### Kết luận:
- Độ dài cung nhỏ \(BC\) là \(\pi \text{ cm}\).
- Diện tích hình quạt tròn \(OBC\) là \(\frac{3 \pi}{2} \text{ cm}^2\).
- Chứng minh rằng \(MN = MA + NB\) đã hoàn thành.