Chứng minh bốn điểm M. A. B. O cùng thuộc một đường tròn; Chứng minh đường thẳng OH song song với đường thẳng AE và OH.OM = R²

Để chứng minh bốn điểm \( M, A, B, O \) cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của đường tròn và các góc vuông.

### a) Chứng minh bốn điểm \( M, A, B, O \) cùng thuộc một đường tròn:

1. **Tiếp tuyến:** Theo đề bài, \( A \) và \( B \) là tiếp điểm của đường tròn \( (O; R) \) với đường thẳng \( MA \) và \( MB \). Do đó, ta có:
\[
\angle OMA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle OMB = 90^\circ.
\]

2. **Tính chất của góc nội tiếp:** Từ \( M \) vẽ các đường tròn vuông góc từ \( O \) đến \( MA \) và \( MB \). Ta có:
\[
\angle OMA + \angle OMB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
\]
Theo định nghĩa của góc nội tiếp, hai điểm \( A \) và \( B \) nằm trên đường tròn với đường kính \( OM \).

3. **Kết luận:** Như vậy, \( M, A, B, O \) cùng nằm trên một đường tròn có đường kính \( OM \).

### b) Chứng minh đường thẳng \( OH \) song song với đường thẳng \( AE \) và \( OH \cdot OM = R^2 \):

1. **Oh là giao điểm:** Ta có \( OH \) là đường kính của đường tròn, do đó \( OH \perp AE \).

2. **Phép chiếu vuông góc:** Vì \( OH \) là đường thẳng vuông góc với \( AE \) tại điểm tiếp xúc, nên ta có \( OH \parallel AE \).

3. **Rút ra kết luận:** Từ sự kết hợp này, có:
\[
OH \cdot OM = R^2,
\]
do \( OH \) là đường kính, nghĩa là \( OH \) vuông góc với đường tiếp xúc nên có chiều dài bằng bán kính \( R \).

### c) Chứng minh \( MD \) cắt đường tròn tại điểm \( C \) (khác \( D \)). Chứng minh \( MD \cdot MC = MH \cdot MO \):

1. **Tính chất của tiếp tuyến và dây cung:** Theo định nghĩa, \( D \) là điểm mà đường thẳng \( EH \) cắt đường tròn tại \( D \) và \( C \).

2. **Sử dụng định lý cơ bản của hình học:** Theo định lý tiếp tuyến, ta có \( MD \cdot MC = MH \cdot MO \).

3. **Kết quả:** Kết luận rằng \( MD \cdot MC = MH \cdot MO \) từ việc sử dụng định lý trên.

### Tổng kết:
- Các điểm \( M, A, B, O \) đều nằm trên một đường tròn.
- Các đường thẳng được thiết lập song song và tỉ lệ của đoạn thẳng cũng đã được chứng minh dựa trên các tính chất hình học và định lý cơ bản.