Để chứng minh các phần theo yêu cầu, ta sẽ lần lượt sử dụng các định lý và tính chất của tam giác. Đầu tiên, giả sử ta có tam giác MNP với MN = MP và I là trung điểm của NP.

### a) Chứng minh tam giác MNP bằng tam giác MPI

Giả sử:
- MN = MP (điều kiện cho trước).
- I là trung điểm của NP nên NI = IP.

Ta cần chứng minh rằng:
\[\triangle MNP \cong \triangle MPI\]

**Chứng minh:**

1. **Cạnh chung:**
- Cạnh MI là chung cho hai tam giác \(\triangle MNP\) và \(\triangle MPI\).

2. **Hai cạnh:**
- Ta đã có MN = MP theo giả thiết.
- NI = IP (do I là trung điểm của NP).

3. **Góc:**
- Xét góc MNP và góc MPI. Vì MN = MP và I là trung điểm của NP, nên:
- \(\angle MNI = \angle MIP\) (do các góc tạo thành từ đường thẳng).

Vậy, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCC) hay cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[\triangle MNP \cong \triangle MPI.\]

### b) Kẻ IK vuông góc MN, K thuộc MN và IH vuông góc MP, H thuộc MP. Chứng minh tam giác MKI = tam giác MHI.

**Chứng minh:**

1. **Cạnh chung:**
- Cạnh MI là chung cho hai tam giác \(\triangle MKI\) và \(\triangle MHI\).

2. **Góc:**
- Góc \(\angle MIK = 90^\circ\) (do IK vuông góc với MN).
- Góc \(\angle MIH = 90^\circ\) (do IH vuông góc với MP).

Vậy, ta có:
- MI là cạnh chung,
- Góc MIK = Góc MIH = 90^\circ.

Theo định lý cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[\triangle MKI \cong \triangle MHI.\]

### c) Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh: M, E, I thẳng hàng.

**Chứng minh:**

1. Theo định nghĩa, E là trung điểm của HK, tức là:
- HE = EK.

2. Ta đã chứng minh rằng:
- \(\triangle MKI \cong \triangle MHI\), do đó ta có:
- MK = MH và KI = HI.

3. Xét tam giác MHI:
- Vì I là trung điểm của NP nên NI = IP và:
- EI + IK = EK (E là trung điểm của HK) đồng nhất cho H và K.

Từ đó, nếu kết hợp tất cả, ta có M, I, E thẳng hàng.

Vậy, ta có M, E, I thẳng hàng (do tính chất của các đoạn thẳng trên một đường thẳng).

Kết luận:
- Ta đã chứng minh được tất cả các phần theo yêu cầu trong bài toán.