Tìm số tự nhiên sao cho

Chúng ta sẽ giải từng bài toán một nhé.

### a) Tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( (2n + 5) \mid (n + 1) \)

Ta cần tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( (2n + 5) \) là ước của \( (n + 1) \). Nếu \( a \mid b \), thì tồn tại \( k \) sao cho \( b = ak \).

Vậy ta có:
\[
n + 1 = k(2n + 5)
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
n + 1 = 2kn + 5k
\]
\[
n - 2kn = 5k - 1
\]
\[
n(1 - 2k) = 5k - 1
\]
Nếu \( 1 - 2k \neq 0 \), thì ta có:
\[
n = \frac{5k - 1}{1 - 2k}
\]
Để \( n \) là số tự nhiên, \( 5k - 1 \) phải chia hết cho \( 1 - 2k \). Bây giờ ta thử các giá trị của \( k \) từ 1 trở đi.

**Thử \( k = 1 \):**
\[
n = \frac{5 \cdot 1 - 1}{1 - 2 \cdot 1} = \frac{4}{-1} = -4 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

**Thử \( k = 2 \):**
\[
n = \frac{5 \cdot 2 - 1}{1 - 2 \cdot 2} = \frac{10 - 1}{1 - 4} = \frac{9}{-3} = -3 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

**Thử \( k = 0 \):**
\[
n = \frac{5 \cdot 0 - 1}{1 - 2 \cdot 0} = \frac{-1}{1} = -1 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

Ta thấy phải tiếp tục thử với các giá trị \( k = 3, 4, ... \) đến khi nào tìm được \( n \) thỏa mãn.

Vì vậy, với \( k = 1 \) không trở về số tự nhiên, ta thử trở lại ở bước \( n = 5k - 1\) với \( k \le 2 \) để ra số nguyên dương:

Khi giải thích rõ hơn, ta đối chiếu sự xem xét trên và tìm thêm số nhỏ \( n \) từ 0 đến 3 và thấy (xác nhận):

- Khi \( n = 0 \):
\[
2n + 5 = 5 \text{ và } n + 1 = 1 \quad 5 \nmid 1
\]
- Khi \( n = 1 \):
\[
2n + 5 = 7 \text{ và } n + 1 = 2 \quad 7 \nmid 2
\]
- Khi \( n = 2 \):
\[
2n + 5 = 9 \text{ và } n + 1 = 3 \quad 9 \nmid 3
\]
- Khi \( n = 3 \):
\[
2n + 5 = 11 \text{ và } n + 1 = 4 \quad 11 \nmid 4
\]
Và từ \( n = 4 \) và 5 cũng nhận giá trị tương tự.

### Bất kỳ kết luận nào, chúng ta tìm được số tự nhiên chiều đi đơn giản:
Điều mà có nghĩa là, không mất thời gian với toán thử nghiệm (k) một cách có hệ thống, hoặc cần tạo ra mẫu đa dạng.

### b) Cho \( n = 3^{2024} + 6^{2024} + 7 \). Chứng tỏ \( n \equiv 0 \pmod{8} \)

Ta có:
\[
6^{2024} = (2 \cdot 3)^{2024} = 2^{2024} \cdot 3^{2024}
\]

Bây giờ, tương đương mod 8:
\[
n \equiv 3^{2024} + 0 + 7 \pmod{8}
\]

Ta tính:
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 1 \)
- \( 3^3 \equiv 3 \)
- \( 3^4 \equiv 1 \)

Suy ra, \( 3^{2024} \equiv 1 \pmod{8} \) (2024 là số chẵn).

Vậy:
\[
n \equiv 1 + 7 \equiv 0 \pmod{8}
\]
Điều này chứng minh được.

### c) Tìm các cặp số nguyên \( x, y \) thỏa mãn \( 2xy + x + 5y = 7 \)

Ta viết lại phương trình:
\[
2xy + x + 5y - 7 = 0
\]

Xem đây là phương trình bậc nhất theo \( x \):
\[
x(2y + 1) + 5y - 7 = 0
\]
Giải ra \( x = \frac{7 - 5y}{2y + 1} \).

Ta cần \( 7 - 5y \) là bội của \( 2y + 1 \). Nên kiểm tra điều kiện khi \( 2y + 1 \) không bằng 0: \( y > -\frac{1}{2} \).

Giải cho trường hợp \( y \):

\[
7 \ge 5y \Rightarrow y \le \frac{7}{5}
\]
Ta thử các giá trị nguyên \( y = -1, 0, 1, 2 \):

- Với \( y = 0 \):
\[
x = \frac{7}{1} = 7 \Rightarrow (7, 0)
\]
- Với \( y = 1 \):
\[
x = \frac{2}{3} \text{ (không thỏa) }
\]
- Với \( y = 2 \):
\[
x = \frac{-3}{5} \text{ (không thỏa) }
\]
- Với \( y = -1 \):
\[
x = \frac{12}{-1} = -12 \Rightarrow (-12, -1)
\]

Sau đó, có cặp thành công là \( (7, 0) \) and \( (-12, -1) \).

Trên đây là giải quyết bài toán theo từng câu một hướng tự nhiên và có hệ thống cho từng thành phần.