Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính tỉ số truyền \( i \) và tốc độ quay của bánh bị dẫn

**1. Tính tỉ số truyền \( i \)**

Tỉ số truyền giữa hai bánh răng được tính bằng công thức:

\[
i = \frac{N_a}{N_b}
\]

Trong đó:
- \( N_a \) là số răng của bánh răng dẫn (80 răng)
- \( N_b \) là số răng của bánh răng bị dẫn (40 răng)

Tính tỉ số truyền:

\[
i = \frac{80}{40} = 2
\]

**2. Tính tốc độ quay của bánh răng bị dẫn**

Tốc độ quay của bánh răng bị dẫn được tính bằng công thức sau:

\[
n_b = \frac{n_a}{i}
\]

Trong đó:
- \( n_a \) là tốc độ quay của bánh răng dẫn (150 vòng/phút)
- \( i \) là tỉ số truyền đã tính ở trên (2)

Tính tốc độ quay của bánh răng bị dẫn:

\[
n_b = \frac{150}{2} = 75 \text{ vòng/phút}
\]

### b) Thay đổi số răng của bánh răng nào để bánh răng bị dẫn quay nhanh gấp đôi

Nếu muốn bánh răng bị dẫn quay nhanh gấp đôi, nghĩa là tốc độ quay mới của bánh răng bị dẫn \( n_b' \) sẽ là:

\[
n_b' = 2 \cdot n_b = 2 \cdot 75 = 150 \text{ vòng/phút}
\]

Sử dụng công thức cho tốc độ quay \( n_b \):

\[
n_b' = \frac{n_a}{i'}
\]

Trong đó \( i' \) là tỉ số truyền mới. Thay giá trị của \( n_b' \) và \( n_a \):

\[
150 = \frac{150}{i'}
\]

Giải phương trình trên để tìm \( i' \):

\[
i' = 1
\]

Từ tỉ số truyền mới này, chúng ta có thể tính số răng mới của bánh răng bị dẫn:

\[
i' = \frac{N_a}{N_b'}
\]

Với \( N_a = 80 \) răng (bánh răng dẫn), và \( N_b' \) là số răng của bánh răng bị dẫn mới:

\[
1 = \frac{80}{N_b'}
\]

Suy ra:

\[
N_b' = 80 \text{ răng}
\]

**Kết luận:**
- a) Tỉ số truyền \( i = 2 \) và tốc độ quay của bánh bị dẫn là \( n_b = 75 \) vòng/phút.
- b) Để bánh răng bị dẫn quay nhanh gấp đôi, cần thay đổi số răng của bánh răng bị dẫn thành 80 răng (cùng số răng với bánh răng dẫn).