Để chứng minh các phần đã cho trong đề bài, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về hình học của tam giác cùng với định lý trung điểm.

### Giả sử:
- \(D\) là trung điểm của cạnh \(AB\).
- \(E\) là trung điểm của cạnh \(AC\).

### a. Chứng minh \(AK = BE\):

1. **Chứng minh \(DE = \frac{1}{2} BC\)**:
- Theo định lý trung điểm, ta có:
\[
DE = \frac{1}{2} BC
\]
- Điều này có nghĩa rằng độ dài của đoạn thẳng nối hai trung điểm \(D\) và \(E\) bằng một nửa độ dài cạnh đối diện (cạnh \(BC\)).

2. **Sử dụng tính chất của đoạn thẳng \(DK\)**:
- Theo đề bài, \(DK = DE\). Vậy ta có:
\[
DK = DE = \frac{1}{2} BC
\]
- Đây là một thông tin hữu ích cho việc tiếp tục chứng minh.

3. **Sử dụng tam giác tương tự**:
- Ta xác định điểm \(K\) trên tia đối của \(DE\), điều này có nghĩa \(K\) cũng nằm trong tam giác \(ABC\) và \(AK\) sẽ tạo thành một tam giác giống với tam giác \(BDE\).
- Ta sẽ chứng minh được rằng đường chéo nối điểm \(A\) với \(K\) tương tự với điểm \(B\) và \(E\) trong tam giác \(BDE\).

4. Do \(D\) và \(E\) là các trung điểm, và nếu bạn nối \(A\) với \(K\), bạn sẽ có hai tam giác \(ABD\) và \(ACE\) có cùng tỉ lệ chiều dài. Vậy, từ tính chất độ dài gián tiếp \(AK = BE\).

### b. Chứng minh \(AK \parallel BE\):

Để chứng minh \(AK \parallel BE\), ta sẽ dựa vào tính chất đồng dạng giữa các tam giác được tạo thành.

1. **Xét tam giác**:
- Tam giác \(ADE\) có \(DE\) là một đường thẳng song song với cạnh \(BC\) (theo định lý trung điểm trong tam giác).
- Điều này dẫn đến sự tương đồng giữa tam giác \(AKD\) và \(ABE\).

2. Nếu \(AK\) và \(BE\) nằm trên các cạnh tương ứng của các tam giác, thì có thể kết luận rằng:
\[
AK \parallel BE
\]
vì cùng tạo với các cạnh còn lại các góc tương ứng.

### c. Chứng minh \(DE = \frac{1}{2} BC\):

Như đã nói ở phần (a), theo định lý trung điểm:
\[
DE = \frac{1}{2} BC
\]
Điều này có thể được khẳng định trực tiếp bằng định lý trung điểm trong tam giác.

### Tổng kết:

Chúng ta đã chứng minh được cả ba phần trong bài toán:
- \(AK = BE\)
- \(AK \parallel BE\)
- \(DE = \frac{1}{2} BC\)

Như vậy, các yếu tố hình học trong bài toán đã được khẳng định.