Để giải bài toán, ta sẽ phân tích từng phần. Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, có thể đặt các điểm như sau trong hệ tọa độ:

- A(0, 0)
- B(2a, 0)
- C(2a, b)
- D(0, b)

Với a là nửa chiều dài của AB và b là chiều cao của AD. Từ đó, ta có:

### a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành và O, M, N thẳng hàng:

1. **Tọa độ điểm M và N**:
- Điểm M là trung điểm của AB:
\[
M\left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (a, 0)
\]
- Điểm N là trung điểm của CD:
\[
N\left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = (a, b)
\]

2. **Tọa độ điểm O (giao điểm của AC và BD)**:
- Phương trình đường AC:
- Điểm A(0, 0) và C(2a, b) tạo ra phương trình:
\[
y = \frac{b}{2a}x
\]
- Phương trình đường BD:
- Điểm B(2a, 0) và D(0, b) tạo ra phương trình:
\[
y = -\frac{b}{2a}(x - 2a) \Rightarrow y = -\frac{b}{2a}x + b
\]

- Giải hệ phương trình để tìm điểm O:
\[
\frac{b}{2a}x = -\frac{b}{2a}x + b \Rightarrow \frac{b}{a}x = b \Rightarrow x = a
\]
Thay vào một phương trình để tìm y:
\[
y = \frac{b}{2a}a = \frac{b}{2}
\]
- Vậy O(a, \(\frac{b}{2}\)).

3. **Chứng minh AM = CN và AN = CM**:
\[
AM = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = a, \quad CN = \sqrt{(a - 2a)^2 + (b - b)^2} = a
\]
\[
AN = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad CM = \sqrt{(a - 2a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Do đó, AM = CN và AN = CM, nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

4. **O, M, N thẳng hàng**:
Mọi điểm M, N, O đều có cùng x = a, vì vậy O, M, N thẳng hàng.

### b) Tứ giác AMND là hình gì?

1. **Tứ giác AMND có các cạnh**:
- AM, AN, ND, DM
- Với đã chứng minh AM = CN và AN = CM, nên tổng hợp với MN, ta thấy AMND là hình chữ nhật vì có 1 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Tóm lại, tứ giác AMND là hình chữ nhật.

### c) Vẽ DH vuông góc AC tại H. AN giao DH và DB lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác DIMK là hình thoi:

1. **H có tọa độ là giao điểm của DH và AC**:
- DH vuông góc AC ở điểm O.

2. **Các điểm I và K**:
- I là giao điểm AN và DH
- K là giao điểm DB và DH.

3. **Chứng minh DIMK là hình thoi**:
- Để chứng minh DIMK là hình thoi, ta cần chứng minh bốn cạnh DI, IM, MK và DK bằng nhau.

Vậy do các tính chất từ các đường vuông góc tạo ra trong hình chữ nhật ban đầu, ta có thể chứng minh rằng tứ giác DIMK là hình thoi.

### Tóm lại:
- AMCN là hình bình hành, O, M, N thẳng hàng.
- Tứ giác AMND là hình chữ nhật.
- Tứ giác DIMK là hình thoi.