Chúng ta sẽ chứng minh từng phần một của bài toán dựa trên các định lý và tính chất về tam giác và trung điểm.

### a) Chứng minh tam giác MNI = tam giác MPI

- **Cho tam giác MNP có MN = MP**. Điều này có nghĩa là tam giác MNP là tam giác cân tại M.
- **Gọi I là trung điểm của NP**, nghĩa là \( NI = IP \).
- **Xét các cạnh của hai tam giác:**

- \( MN = MP \) (Điều kiện cho tam giác);
- \( NI = IP \) (Bởi vì I là trung điểm);
- \( MI \) là chung cho cả hai tam giác MNI và MPI.

Từ đó, chúng ta có:

\( MN = MP \),

\( NI = IP \),

\( MI = MI \) (cạnh chung).

- **Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS)**, ta có:

\[
\triangle MNI \cong \triangle MPI
\]

### b) Kẻ IK ⊥ MN (K ∈ MN) và IH ⊥ MP (H ∈ MP)

- Chúng ta đã có hai tam giác MNI và MPI đồng dạng từ phần a).
- Kẻ hai đường vuông góc: \( IK \perp MN \) và \( IH \perp MP \).

**Chứng minh**:

- **Tam giác MNI và MPI đều có cùng đáy MI** và chiều cao từ I đến MN và MP.
- Điều này có nghĩa là chiều cao \( IK \) từ I đến MN và chiều cao \( IH \) từ I đến MP đều cùng diện tích.

- **Tam giác MKI và tam giác MHI** sẽ có chung cạnh \( MI \) và độ cao \( IK = IH \) từ điểm I vuông góc đến các cạnh MN và MP.

- Do đó, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS), ta có:

\[
\triangle MKI \cong \triangle MHI
\]

### c) Gọi E là trung điểm của HK chứng minh: M, E, I thẳng hàng

- Từ phần b), ta đã chứng minh được \( \triangle MKI \cong \triangle MHI \).
- Như vậy, \( KI = HI \) (cạnh tương ứng).
- Bây giờ, **gọi E là trung điểm của HK**, ta có:

\[
HE = EK
\]

- Bạn có thể hình dung điều này như sau: H và K là hai điểm mà đường cao của chúng từ I xuống các cạnh của tam giác MNP, và E là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa chúng.

- Trong tam giác MHI và MKI, chúng ta có được ứng dụng của định lý trung điểm, cho nên:

- Điểm I sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa H và K, do đó:

\[
M, E, I \text{ thẳng hàng}
\]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần như yêu cầu.