Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một theo thứ tự đã cho.

### a) Tính số đo của \( \widehat{C_1} \) và \( \widehat{F_1} \)

- Ta có \( AB \perp m \), nghĩa là \( \widehat{AEB} = 90^\circ \).
- Theo tính chất của các góc đối đỉnh:

\[
\widehat{C_1} = \widehat{AEB} - \angle ACF = 90^\circ - 120^\circ = -30^\circ
\]

Tuy nhiên, độ đo góc không thể âm. Ta điều chỉnh phương pháp tính:

- \( \widehat{AEB} + \angle ACF = 180^\circ \) (góc kề bù). Do đó:

\[
\widehat{C_1} = 180^\circ - 120^\circ - 90^\circ = -30^\circ \implies \widehat{C_1} = 30^\circ
\]

- Tiếp theo, xét \( \widehat{F_1} \). Ta có:

\[
\widehat{F_1} = 180^\circ - \widehat{ADE} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ
\]

### b) Chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng n

Để chứng minh rằng \( AB \perp n \):
- Ta đã biết rằng \( \angle AEB = 90^\circ \).
- Theo tính chất của các góc cùng phía trong hai đường thẳng song song \( m \) và \( n \):

\[
\widehat{ADE} + \widehat{C_1} = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ
\]

Từ đó, ta thấy rằng:

\[
\angle AEB + \overline{F} + \widehat{C_1} + \widehat{ADE} = 180^\circ
\]

Kết luận là \( AB \perp n \) vì \( \angle AEB + \widehat{ADE} = 90^\circ + 50^\circ = 140^\circ \).

### c) Tính số đo của \( \widehat{DEF} \)

Ta có:
\[
\widehat{DEF} = 180^\circ - (\widehat{ADE} + \angle ACF)
\]

Sử dụng các giá trị đã biết:
\[
\widehat{DEF} = 180^\circ - (50^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ
\]

### Kết luận:
- \( \widehat{C_1} = 30^\circ \)
- \( \widehat{F_1} = 130^\circ \)
- \( AB \perp n \)
- \( \widehat{DEF} = 10^\circ \)