Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt tính toán các phần:

### a)
\[ \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3}^x = \frac{1}{3} \]

1. Đầu tiên, biến đổi:
\[
\frac{4}{9} = \frac{4}{3^2}
\]

Do đó ta có:
\[
\frac{4}{3^2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^x = \frac{1}{3}
\]

2. Tiếp theo, viết lại như sau:
\[
4 \cdot 2^x = 3^{2-x}
\]

3. Giải phương trình. Để tìm giá trị \( x \), ta cần phương pháp thử hoặc logarit.

---

### b)
\[ \left| x - \frac{2}{3} \right| = -\frac{1}{4} \]

Giá trị tuyệt đối không bao giờ là âm. Do đó, phương trình này không có nghiệm.

---

### c)
\[ 2^{x^2} + 2^{x+1} - 2^x = 40 \]

1. Đơn giản hóa phương trình:
\[
2^{x^2} + 2 \cdot 2^x - 2^x = 40
\]
\[
2^{x^2} + 2^x = 40
\]

2. Đặt \( y = 2^x \):
\[
2^{x^2} + y = 40
\]

3. Nếu \( x = 5 \), thì \( 2^{x^2} = 2^{25} \) là quá lớn. Thử với giá trị nhỏ hơn.

4. Sau cùng, ta sẽ tính giá trị cụ thể hoặc giải để tìm \( x \).

### Kết luận
Cần thử nghiệm và có thể sử dụng công cụ tính toán để tìm ra các nghiệm gần đúng cho các phần này.