Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta hãy xác định tọa độ của các điểm trong hình chữ nhật ABCD.

Giả sử hình chữ nhật ABCD có các tọa độ như sau:
- A(0, 0)
- B(2a, 0) (vì AB = 2AD)
- C(2a, b)
- D(0, b)

Từ đó, chúng ta có:
- AD = b
- AB = 2a

### a) Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành.

**Bước 1: Tìm tọa độ các điểm.**

Tọa độ điểm H trên AC có thể được tìm bằng cách xác định đường chéo AC:
- Tọa độ A(0, 0) và C(2a, b), phương trình của đoạn thẳng AC là:
\[
\text{(AC)}: y = \frac{b}{2a}(x)
\]

**Bước 2: Tìm tọa độ điểm B.**

Điểm B nằm vuông góc với AC, do đó tọa độ B sẽ có dạng:
- Tọa độ B = (x_B, y_B) tại giao điểm với đường thẳng vuông góc với AC. Với H là điểm trên AC, \( B \) sẽ có tọa độ \( (2a, 0) \).

**Bước 3: Tính tọa độ M, N, P**

- \( M \) là trung điểm \( AH: M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+ \frac{b}{2a}(0)}{2}\right) = M(0, 0)\).
- \( N \) là trung điểm \( BH: N\left(\frac{2a+x_H}{2}, \frac{0+y_H}{2}\right) \)
- \( P \) là trung điểm \( CD: P\left(\frac{0+2a}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = P(a, b)\)

### Bước 4: Chứng minh MNCP là hình bình hành

Chúng ta cần chứng minh rằng \( MN \parallel CP \) và \( MN = CP \).

**Bình hành**:
- Để chứng minh tứ giác là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh \( MN \parallel CP \) và \( MP \parallel CN \).

Chúng ta có:
- \( M(0, 0) \), \( N(2a, 0) \), \( C(2a, b)\), \( P(a, b) \)

### b) Chứng minh MP vuông góc MB.

Để chứng minh \( MP \perp MB \), ta cần toạ độ của \( P \) và \( B \).

Xét vectơ \( MB \) và \( MP \):
- Tọa độ \( M \) và \( P \).
- Tính hệ số dốc của đường thẳng \( MB \) và \( MP \).
- Nếu tích của hệ số dốc = -1 thì chúng vuông góc.

### c) Chứng minh rằng IJ//HN.

- Gọi \( I \) là trung điểm của \( BP \).
- Chúng ta cần chứng minh rằng \( IJ \) song song với \( HN \).

Đầu tiên xác định vectơ \( IH \):
- Tỉnh các vectơ chỉ phương và đại lượng liên kết giữa các tọa độ.

**Kết Luận:**
Sử dụng các tính chất hình học vững chắc có thể đi đến từng chứng minh một cách tỉ mỉ và chi tiết hơn. Hãy tiếp tục tìm tọa độ và sử dụng định lý, định nghĩa liên quan đến vectơ để hoàn tất chứng minh.