Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x + 1} = \frac{5x - 2}{(x + 2)(x + 1)},
\]

ta sẽ đưa các hạng tử về cùng mẫu số.

Mẫu số chung của ba phân số này là \((x + 2)(x + 1)\).

Ta sẽ là viết lại từng hạng tử để có cùng mẫu số:

1. Đối với hạng tử \(\frac{1}{x + 2}\):

\[
\frac{1}{x + 2} = \frac{x + 1}{(x + 2)(x + 1)}
\]

2. Đối với hạng tử \(\frac{2}{x + 1}\):

\[
\frac{2}{x + 1} = \frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{2x + 4}{(x + 2)(x + 1)}
\]

Vậy ta có thể thay vào phương trình:

\[
\frac{x + 1}{(x + 2)(x + 1)} - \frac{2x + 4}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{5x - 2}{(x + 2)(x + 1)}
\]

Tổng hợp các hạng tử bên trái:

\[
\frac{x + 1 - (2x + 4)}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{5x - 2}{(x + 2)(x + 1)}
\]

Tiến hành giản ước:

\[
\frac{x + 1 - 2x - 4}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{-x - 3}{(x + 2)(x + 1)}
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
\frac{-x - 3}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{5x - 2}{(x + 2)(x + 1)}
\]

Vì mẫu số là giống nhau và khác 0 (với x ≠ -2 và x ≠ -1), ta có thể bỏ qua nó. Chúng ta có được phương trình sau:

\[
-x - 3 = 5x - 2
\]

Giải phương trình này:

\[
-x - 5x = -2 + 3
\]
\[
-6x = 1
\]
\[
x = -\frac{1}{6}
\]

Cuối cùng, ta kiểm tra lại điều kiện x ≠ -2 và x ≠ -1: trong trường hợp này, x = -\frac{1}{6} là hợp lệ.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-\frac{1}{6}}
\]