Chúng ta có tam giác \( ABC \) với diện tích bằng \( 60 \, \text{cm}^2 \). Để dễ dàng tính toán, ta sẽ xét một cách đơn giản hóa với các tỉ lệ.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, h) \).
- Diện tích của tam giác cho bởi công thức \( \frac{1}{2} \times AB \times h = 60 \):
\[
AB = b, \quad h \quad (tính bằng chiều cao tương ứng với cạnh AB)
\]
Vậy,
\[
\frac{1}{2} \times b \times h = 60 \implies b \times h = 120
\]

2. **Xác định tọa độ D và E**:
- Điểm \( D \) trên cạnh \( CA \) với \( CD = \frac{1}{4} CA \):
- \( CA = \sqrt{b^2 + h^2} \) (tính chiều dài \( AC \)).
- Tọa độ điểm \( D \): \( D = \left( 0, h - \frac{h}{4} \right) = \left( 0, \frac{3h}{4} \right) \).

- Điểm \( E \) trên cạnh \( AB \) với \( BE = \frac{1}{3} AB \):
- Tọa độ điểm \( E \): \( E = \left( b - \frac{b}{3}, 0 \right) = \left( \frac{2b}{3}, 0 \right) \).

3. **Tìm giao điểm \( I \) của \( BD \) và \( CE \)**:
- Phương trình đường thẳng \( BD \) (với các điểm \( B(b, 0) \) và \( D(0, \frac{3h}{4}) \)):
\[
y = -\frac{3h}{4b} x + \frac{3h}{4}
\]

- Phương trình đường thẳng \( CE \) (với các điểm \( C(0, h) \) và \( E(\frac{2b}{3}, 0) \)):
\[
y = \frac{3h}{2b} x
\]

Giải hệ phương trình để tìm \( I(x, y) \):
- Đặt hai biểu thức của \( y \) bằng nhau:
\[
-\frac{3h}{4b} x + \frac{3h}{4} = \frac{3h}{2b} x
\]
Giải phương trình này để tìm tọa độ giao điểm \( I \).

4. **Tính diện tích tam giác \( IBC \)**:
- Sử dụng công thức diện tích tam giác với ba điểm \( I(x_I, y_I) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, h) \):
\[
S_{IBC} = \frac{1}{2} \left| x_I(0 - h) + b(h - y_I) + 0(y_I - 0) \right|
\]
- Thay \( x_I \), \( y_I \) vào để tính.

5. **Tính tỉ số \( \frac{IB}{ID} \)**:
- Dùng công thức khoảng cách:
\[
IB = \sqrt{(x_I - b)^2 + (y_I - 0)^2}
\]
\[
ID = \sqrt{(x_I - 0)^2 + (y_I - \frac{3h}{4})^2}
\]
- Sau đó, tính tỉ số:
\[
\frac{IB}{ID}
\]

Vì chưa có giá trị cụ thể cho \( b \) và \( h \), bạn sẽ cần làm các phép tính cụ thể hơn với số liệu này để có kết quả cuối cùng về diện tích tam giác \( IBC \) và tỉ số \( \frac{IB}{ID} \).