Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 5cm và độ dài trung đoạn là 9cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó

Để tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \( S.ABC \), ta thực hiện theo các bước sau.

### Dữ liệu

- Độ dài cạnh đáy \( a = 5 \) cm.
- Độ dài trung đoạn \( m = 9 \) cm.

### Bước 1: Tính chiều cao của hình chóp

Chiều cao của hình chóp \( h \) có thể tính bằng cách sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( S.OH \), trong đó \( O \) là trung điểm của đáy \( ABC \), \( H \) là chân đường hạ từ đỉnh \( S \) xuống đáy.

- Độ dài đoạn \( AO \) (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều) được tính bằng:

\[
AO = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{5 \sqrt{3}}{3} \text{ cm}
\]

- Từ đó, ta có:

\[
m^2 = h^2 + AO^2
\]
\[
9^2 = h^2 + \left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)^2
\]
\[
81 = h^2 + \frac{25 \cdot 3}{9} = h^2 + \frac{75}{9}
\]
\[
81 = h^2 + \frac{25}{3}
\]
\[
81 - \frac{25}{3} = h^2
\]
\[
\frac{243}{3} - \frac{25}{3} = h^2
\]
\[
\frac{218}{3} = h^2
\]
\[
h = \sqrt{\frac{218}{3}} \approx 8.49 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều được tính theo công thức:

\[
S_{xq} = \frac{3}{2} \cdot a \cdot l
\]

Trong đó \( l \) là độ dài cạnh bên. Để tính \( l \):

\[
l^2 = h^2 + AO^2
\]
\[
l^2 = \left( \sqrt{\frac{218}{3}} \right)^2 + \left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)^2
\]
\[
l^2 = \frac{218}{3} + \frac{75}{9}
\]
\[
l^2 = \frac{218 \cdot 3 + 75}{9} = \frac{654 + 75}{9} = \frac{729}{9} = 81
\]
\[
l = 9 \text{ cm}
\]

Cuối cùng, tính \( S_{xq} \):

\[
S_{xq} = \frac{3}{2} \cdot 5 \cdot 9 = \frac{135}{2} = 67.5 \text{ cm}^2
\]

### Kết quả

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \( S.ABC \) là \( 67.5 \) cm².